Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:
а) $\frac{7}{15}$ и $\frac{5}{12}$;
б) $\frac{13}{20}$ и $\frac{17}{25}$.

Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, что такое наименьшее общее кратное (НОК) и как его находить.

Теория:

1. Кратное числа: Кратным числа a называется число, которое делится на a без остатка. Например, кратными числа 3 являются 3, 6, 9, 12 и т.д.

2. Общее кратное: Общим кратным двух или нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, общими кратными чисел 2 и 3 являются 6, 12, 18 и т.д.

3. Наименьшее общее кратное (НОК): Наименьшим общим кратным двух или нескольких чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

4. Как найти НОК:

Разложение на простые множители: Чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно разложить каждое из этих чисел на простые множители. Затем нужно выписать все простые множители, входящие в разложения, и взять каждый из них с наибольшим показателем, который встречается в разложениях. Перемножив эти множители, получим НОК.

Решение:

а) Даны дроби $\frac{7}{15}$ и $\frac{5}{12}$. Нужно найти НОК знаменателей, то есть чисел 15 и 12.

1. Разложим 15 и 12 на простые множители:

15 = 3 * 5
12 = 2 * 2 * 3 = $2^2$ * 3

2. Выпишем все простые множители, входящие в разложения: 2, 3, 5.

3. Возьмем каждый множитель с наибольшим показателем, который встречается в разложениях:

2 встречается с наибольшим показателем 2 ($2^2$) в разложении числа 12.
3 встречается с наибольшим показателем 1 в обоих разложениях.
5 встречается с наибольшим показателем 1 в разложении числа 15.

4. Перемножим эти множители: НОК(15, 12) = $2^2$ * 3 * 5 = 4 * 3 * 5 = 60.

Ответ: НОК(15, 12) = 60

б) Даны дроби $\frac{13}{20}$ и $\frac{17}{25}$. Нужно найти НОК знаменателей, то есть чисел 20 и 25.

1. Разложим 20 и 25 на простые множители:

20 = 2 * 2 * 5 = $2^2$ * 5
25 = 5 * 5 = $5^2$

2. Выпишем все простые множители, входящие в разложения: 2, 5.

3. Возьмем каждый множитель с наибольшим показателем, который встречается в разложениях:

2 встречается с наибольшим показателем 2 ($2^2$) в разложении числа 20.
5 встречается с наибольшим показателем 2 ($5^2$) в разложении числа 25.

4. Перемножим эти множители: НОК(20, 25) = $2^2$ * $5^2$ = 4 * 25 = 100.

Ответ: НОК(20, 25) = 100