Найдите НОД (a, b), если:
а)
a = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 19,
b = 2 * 3 * 11 * 13;
б)
a = 2 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 * 11,
b = 3 * 5 * 5 * 7.

Для решения этой задачи нам нужно понимать, что такое НОД (наибольший общий делитель) и как его находить, когда числа представлены в виде произведения простых множителей.

Теория:

• Делитель числа: Делителем числа a называется число, на которое a делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
• Простое число: Простое число − это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д.
• Разложение на простые множители: Любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел. Например, 12 = 2 * 2 * 3. Это представление называется разложением числа на простые множители.
• Наибольший общий делитель (НОД): Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких чисел − это наибольшее число, на которое каждое из этих чисел делится без остатка.

Как найти НОД, если числа разложены на простые множители:

1. Выпишите разложения обоих чисел на простые множители.
2. Найдите общие простые множители в обоих разложениях.
3. Для каждого общего простого множителя выберите наименьшую степень, в которой он встречается в разложениях. Если множитель встречается только один раз, то берем его без изменения.
4. Перемножьте выбранные общие простые множители (в соответствующих степенях). Результат и будет НОД.

Решение:

а)
a = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 19
b = 2 * 3 * 11 * 13

Общие простые множители: 2 и 3.

В числе a множитель 2 встречается дважды (2*2), а в числе b − один раз (2). Берем 2 в первой степени (т.е. просто 2).
В числе a множитель 3 встречается дважды (3*3), а в числе b − один раз (3). Берем 3 в первой степени (т.е. просто 3).

НОД (a, b) = 2 * 3 = 6

б)
a = 2 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 * 11
b = 3 * 5 * 5 * 7

Общие простые множители: 3, 5.

В числе a множитель 3 встречается дважды (3*3), а в числе b − один раз (3). Берем 3 в первой степени (т.е. просто 3).
В числе a множитель 5 встречается трижды (5*5*5), а в числе b − дважды (5*5). Берем 5 во второй степени (т.е. 5*5).

НОД (a, b) = 3 * 5 * 5 = 3 * 25 = 75

Ответ:
а) НОД (a, b) = 6
б) НОД (a, b) = 75