Существуют ли четыре таких различных простых числа, что произведение двух из них равно произведению двух других?

Простые числа

Простое число − это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее.

Разложение на простые множители

Любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел, и такое представление единственно (с точностью до порядка сомножителей). Это утверждение называется основной теоремой арифметики. Например:
12 = 2 * 2 * 3 = 2² * 3
30 = 2 * 3 * 5
100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² * 5²

Решение задачи

Теперь перейдём к самой задаче. Нам нужно выяснить, существуют ли четыре различных простых числа a, b, c и d такие, что a * b = c * d.

Предположим, что такие простые числа существуют. Тогда у нас есть равенство:

a * b = c * d

В левой части этого равенства стоит произведение двух простых чисел, и в правой части − тоже произведение двух простых чисел. Поскольку разложение на простые множители единственно, это означает, что наборы простых множителей слева и справа должны быть одинаковыми.

Но у нас есть проблема: a, b, c и d − это различные простые числа. Это значит, что a не может равняться c или d, и b тоже не может равняться c или d. Тогда получается, что разложение на простые множители в левой и правой частях равенства не может быть одинаковым, если все четыре числа различны.

Например, если мы возьмём простые числа 2, 3, 5 и 7, то никакое произведение двух из них не будет равно произведению двух других.
2 * 3 = 6
2 * 5 = 10
2 * 7 = 14
3 * 5 = 15
3 * 7 = 21
5 * 7 = 35

Никакие два из этих произведений не равны друг другу.

Вывод

Таким образом, не существует четырёх различных простых чисел, произведение двух из которых равно произведению двух других.

Ответ: Нет, не существуют.