Найдите все правильные дроби, знаменатель которых равен 16, а числитель и знаменатель − взаимно простые числа.

Для решения этой задачи, нам нужно вспомнить несколько ключевых понятий:

Что такое правильная дробь?

Правильная дробь − это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, $\frac{3}{5}$ − правильная дробь, а $\frac{7}{4}$ − неправильная дробь.

Что такое взаимно простые числа?

Взаимно простые числа − это два числа, у которых единственный общий делитель − единица. Например, числа 8 и 15 взаимно простые, так как их общие делители только 1. А вот числа 12 и 18 не взаимно простые, так как у них есть общие делители 1, 2, 3 и 6.

Как определить, являются ли два числа взаимно простыми?

Один из способов − найти все делители каждого числа и посмотреть, есть ли у них общие делители, кроме 1. Другой способ − найти наибольший общий делитель (НОД) этих чисел. Если НОД равен 1, то числа взаимно простые.

Решение задачи:

Нам нужно найти все правильные дроби со знаменателем 16, у которых числитель и знаменатель взаимно простые.

1. Так как дробь должна быть правильной, числитель должен быть меньше 16. Значит, возможные варианты для числителя: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

2. Теперь нужно проверить, какие из этих чисел взаимно простые с 16. Для этого посмотрим, какие делители имеет число 16. Делители числа 16: 1, 2, 4, 8, 16. Значит, числитель не должен делиться на 2 (иначе у числителя и знаменателя будет общий делитель 2), числитель не должен делиться на 4, числитель не должен делиться на 8.

3. Выбираем из списка 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 те числа, которые не делятся на 2:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

4. Таким образом, искомые дроби:

$\frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \frac{5}{16}, \frac{7}{16}, \frac{9}{16}, \frac{11}{16}, \frac{13}{16}, \frac{15}{16}$.

Ответ:

$\frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \frac{5}{16}, \frac{7}{16}, \frac{9}{16}, \frac{11}{16}, \frac{13}{16}, \frac{15}{16}$.