Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменатель дроби:
а) $\frac{324}{432}$;
б) $\frac{225}{275}$;
в) $\frac{414}{504}$;
г) $\frac{575}{825}$.
$\frac{324}{432}$
$
\begin{array}{r|l}
324 & 2\\
162 & 2\\
81 & 3\\
27 & 3\\
9 & 3\\
3 & 3\\
1 &
\end{array}
$
324 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3
$
\begin{array}{r|l}
432 & 2\\
216 & 2\\
108 & 2\\
54 & 2\\
27 & 3\\
9 & 3\\
3 & 3\\
1 &
\end{array}
$
432 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3
НОД(324; 432) = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 = 108
$\frac{225}{275}$
$
\begin{array}{r|l}
225 & 3\\
75 & 3\\
25 & 5\\
5 & 5\\
1 &
\end{array}
$
225 = 3 * 3 * 5 * 5
$
\begin{array}{r|l}
275 & 5\\
55 & 5\\
11 & 11\\
1 &
\end{array}
$
275 = 5 * 5 * 11
НОД(225; 275) = 5 * 5 = 25
$\frac{414}{504}$
$
\begin{array}{r|l}
414 & 2\\
207 & 3\\
69 & 3\\
33 & 3\\
11 & 11\\
1 &
\end{array}
$
414 = 2 * 3 * 3 * 3 * 11
$
\begin{array}{r|l}
504 & 2\\
252 & 2\\
126 & 2\\
63 & 3\\
21 & 3\\
7 & 7\\
1 &
\end{array}
$
504 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7
НОД(414; 504) = 2 * 3 * 3 = 18
$\frac{575}{825}$
$
\begin{array}{r|l}
575 & 5\\
115 & 5\\
23 & 23\\
1 &
\end{array}
$
575 = 5 * 5 * 23
$
\begin{array}{r|l}
825 & 3\\
275 & 5\\
55 & 5\\
11 & 11\\
1 &
\end{array}
$
825 = 3 * 5 * 5 * 11
НОД(575; 825) = 5 * 5 = 25
Для решения данной задачи нам потребуется знание о делителях, наибольшем общем делителе (НОД) и разложении чисел на простые множители.
Теория:
1. Делитель: Делителем числа a называется такое число b, на которое a делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
2. Простое число: Простое число − это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.
3. Разложение на простые множители: Любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел. Например, 12 = 2 * 2 * 3.
4. Наибольший общий делитель (НОД): Наибольший общий делитель двух или нескольких чисел − это наибольшее число, на которое каждое из этих чисел делится без остатка.
Как найти НОД:
1. Разложить каждое из чисел на простые множители.
2. Выписать все общие простые множители, входящие в разложение обоих чисел.
3. Перемножить эти общие простые множители. Полученное произведение и будет НОД.
Решение:
а) $\frac{324}{432}$
Разложим 324 и 432 на простые множители:
$324 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^4$
$432 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^3$
Теперь выпишем общие простые множители с наименьшими степенями:
$2^2$ и $3^3$
Перемножим их:
НОД(324, 432) = $2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$
б) $\frac{225}{275}$
Разложим 225 и 275 на простые множители:
$225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$
$275 = 5 \cdot 5 \cdot 11 = 5^2 \cdot 11$
Общие простые множители:
$5^2$
НОД(225, 275) = $5^2 = 25$
в) $\frac{414}{504}$
Разложим 414 и 504 на простые множители:
$414 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23$
$504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$
Общие простые множители:
2 и $3^2$
НОД(414, 504) = $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$
г) $\frac{575}{825}$
Разложим 575 и 825 на простые множители:
$575 = 5 \cdot 5 \cdot 23 = 5^2 \cdot 23$
$825 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11$
Общие простые множители:
$5^2$
НОД(575, 825) = $5^2 = 25$
Ответ:
а) 108
б) 25
в) 18
г) 25
Пожаулйста, оцените решение
vsebot.ru - Твоя нейросеть на базе СhatGPT, Gemini и др. Бесплатно навсегда!