Назовите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел m и n, если:
а) m = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 и n = 2 * 3 * 3 * 3 * 5;
б) m = 2 * 5 * 5 * 7 * 7 * 7 и n = 3 * 3 * 5 * 7 * 7.

Для решения этой задачи, нам нужно сначала вспомнить, что такое разложение на простые множители и как находить наибольший общий делитель (НОД) двух чисел.

Разложение на простые множители − это представление числа в виде произведения простых чисел (то есть чисел, которые делятся только на 1 и на самих себя, например: 2, 3, 5, 7, 11 и так далее).

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел − это самое большое число, на которое оба этих числа делятся без остатка. Чтобы найти НОД двух чисел, разложенных на простые множители, нужно выбрать общие простые множители в наименьшей степени, в которой они встречаются в разложениях обоих чисел, и перемножить их.

Теперь решим задачу по пунктам.

а) Даны числа:
m = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
n = 2 * 3 * 3 * 3 * 5

Чтобы найти НОД(m, n), выберем общие простые множители в наименьшей степени:
Число 2 встречается в обоих разложениях. В числе m оно встречается 3 раза (2 * 2 * 2), а в числе n − 1 раз (2). Значит, выбираем 2 в первой степени (то есть просто 2).
Число 3 встречается в обоих разложениях. В числе m оно встречается 2 раза (3 * 3), а в числе n − 3 раза (3 * 3 * 3). Значит, выбираем 3 во второй степени (то есть 3 * 3).
Число 5 встречается только в разложении числа n, поэтому оно не входит в НОД.

Итак, НОД(m, n) = 2 * 3 * 3 = 2 * 9 = 18.

Ответ: Разложение на простые множители НОД(m, n) = 2 * 3 * 3, а само число равно 18.

б) Даны числа:
m = 2 * 5 * 5 * 7 * 7 * 7
n = 3 * 3 * 5 * 7 * 7

Чтобы найти НОД(m, n), выберем общие простые множители в наименьшей степени:
Число 2 встречается только в разложении числа m, поэтому оно не входит в НОД.
Число 3 встречается только в разложении числа n, поэтому оно не входит в НОД.
Число 5 встречается в обоих разложениях. В числе m оно встречается 2 раза (5 * 5), а в числе n − 1 раз (5). Значит, выбираем 5 в первой степени (то есть просто 5).
Число 7 встречается в обоих разложениях. В числе m оно встречается 3 раза (7 * 7 * 7), а в числе n − 2 раза (7 * 7). Значит, выбираем 7 во второй степени (то есть 7 * 7).

Итак, НОД(m, n) = 5 * 7 * 7 = 5 * 49 = 245.

Ответ: Разложение на простые множители НОД(m, n) = 5 * 7 * 7, а само число равно 245.