Расскажите алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких натуральных чисел.
Чему равен НОД двух чисел, одно из которых кратно другому?

Для начала давай разберемся, что такое наибольший общий делитель (НОД) и как его найти.

Что такое делитель числа?

Делитель числа – это такое число, на которое данное число делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Что такое общий делитель двух или нескольких чисел?

Общий делитель двух или нескольких чисел – это число, которое является делителем каждого из этих чисел. Например, общими делителями чисел 12 и 18 являются 1, 2, 3 и 6.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)?

Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких чисел – это самое большое число, которое является общим делителем этих чисел. Другими словами, это наибольшее число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка. Например, НОД чисел 12 и 18 равен 6, потому что 6 – самое большое число, на которое делятся и 12, и 18.

Алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных чисел:

1. Разложить каждое число на простые множители.
Простое число – это число, которое делится только на 1 и на само себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.). Разложение на простые множители – это представление числа в виде произведения простых чисел. Например, 12 = 2 * 2 * 3, а 18 = 2 * 3 * 3.

2. Выписать все общие простые множители в разложениях данных чисел.
Общий простой множитель – это простой множитель, который встречается в разложении каждого из данных чисел. Например, у чисел 12 = 2 * 2 * 3 и 18 = 2 * 3 * 3 общими простыми множителями являются 2 и 3. Очень удобно подчеркивать общие множители.

Например, 12 = 2 * 2 * 3 и 18 = 2 * 3 * 3

3. Перемножить все общие простые множители.
Произведение общих простых множителей и будет наибольшим общим делителем. Например, НОД(12, 18) = 2 * 3 = 6.

НОД двух чисел, одно из которых кратно другому:

Если одно число кратно другому, то есть делится на него без остатка, то НОД этих двух чисел равен меньшему из этих чисел.

Пример:

Пусть даны числа 15 и 45. Число 45 кратно числу 15 (45 делится на 15 без остатка: 45 : 15 = 3). Тогда НОД(15, 45) = 15.

Почему это так?

Потому что меньшее число (в нашем случае 15) является делителем самого себя и, по условию, является делителем большего числа (45). Значит, оно является общим делителем. И так как любой делитель числа не может быть больше самого числа, то меньшее число и будет наибольшим общим делителем.