Найдите значение выражения:
а) $\frac{4}{9} + \frac{7}{9} - \frac{1}{9}$;
б) $\frac{6}{7} - (\frac{5}{7} - \frac{1}{7})$;
в) $5\frac{6}{39} + 4\frac{7}{78}$;
г) $7\frac{13}{15} - 3\frac{11}{30}$;
д) $\frac{7}{8} * \frac{4}{35} * \frac{10}{9}$;
е) $(\frac{1}{2} : \frac{3}{4} - \frac{4}{9}) * \frac{5}{3}$.

Теория:

1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

• Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
• Например: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ и $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

2. Сложение и вычитание смешанных чисел:

• Чтобы сложить или вычесть смешанные числа, можно сложить или вычесть отдельно целые части и дробные части. Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, нужно выделить целую часть и добавить её к целой части суммы. При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно занять единицу из целой части уменьшаемого, представить её в виде дроби со знаменателем, равным знаменателю дробной части, и добавить к дробной части уменьшаемого. Например: $a\frac{b}{c} + d\frac{e}{c} = (a+d) + \frac{b+e}{c}$ и $a\frac{b}{c} - d\frac{e}{c} = (a-d) + \frac{b-e}{c}$

3. Приведение дробей к общему знаменателю:

• Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) − это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
• Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель на дополнительный множитель.

4. Умножение дробей:

• Чтобы умножить две дроби, нужно умножить их числители и умножить их знаменатели.
• $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$

5. Деление дробей:

• Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на обратную второй дроби.
• $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$

6. Порядок действий:

• В выражениях со скобками сначала выполняются действия в скобках.
• Умножение и деление выполняются перед сложением и вычитанием.

Теперь решим примеры:

а) $\frac{4}{9} + \frac{7}{9} - \frac{1}{9}$

• Все дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому просто складываем и вычитаем числители: $\frac{4 + 7 - 1}{9} = \frac{11 - 1}{9} = \frac{10}{9}$
• Выделяем целую часть: $\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$

Ответ: $1\frac{1}{9}$

б) $\frac{6}{7} - (\frac{5}{7} - \frac{1}{7})$

• Сначала выполняем действие в скобках: $\frac{5}{7} - \frac{1}{7} = \frac{5 - 1}{7} = \frac{4}{7}$
• Теперь вычитаем: $\frac{6}{7} - \frac{4}{7} = \frac{6 - 4}{7} = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$

в) $5\frac{6}{39} + 4\frac{7}{78}$

• Сначала нужно привести дробные части к общему знаменателю. Заметим, что 78 делится на 39, поэтому 78 будет общим знаменателем.
• Приводим первую дробь к знаменателю 78: $\frac{6}{39} = \frac{6 * 2}{39 * 2} = \frac{12}{78}$
• Теперь складываем: $5\frac{12}{78} + 4\frac{7}{78} = (5 + 4) + (\frac{12}{78} + \frac{7}{78}) = 9 + \frac{12 + 7}{78} = 9\frac{19}{78}$

Ответ: $9\frac{19}{78}$

г) $7\frac{13}{15} - 3\frac{11}{30}$

• Приводим дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 30 будет 30.
• Приводим первую дробь к знаменателю 30: $\frac{13}{15} = \frac{13 * 2}{15 * 2} = \frac{26}{30}$
• Теперь вычитаем: $7\frac{26}{30} - 3\frac{11}{30} = (7 - 3) + (\frac{26}{30} - \frac{11}{30}) = 4 + \frac{26 - 11}{30} = 4\frac{15}{30}$
• Сокращаем дробь: $\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
• Получаем: $4\frac{1}{2}$

Ответ: $4\frac{1}{2}$

д) $\frac{7}{8} * \frac{4}{35} * \frac{10}{9}$

• Умножаем дроби: $\frac{7 * 4 * 10}{8 * 35 * 9}$
• Сокращаем: 7 и 35 сокращаются на 7: $\frac{1 * 4 * 10}{8 * 5 * 9}$ 4 и 8 сокращаются на 4: $\frac{1 * 1 * 10}{2 * 5 * 9}$ 10 и 5 сокращаются на 5: $\frac{1 * 1 * 2}{2 * 1 * 9}$ 2 и 2 сокращаются на 2: $\frac{1 * 1 * 1}{1 * 1 * 9} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

е) $(\frac{1}{2} : \frac{3}{4} - \frac{4}{9}) * \frac{5}{3}$

• Сначала выполняем деление в скобках: $\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} * \frac{4}{3} = \frac{1 * 4}{2 * 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
• Теперь вычитаем: $\frac{2}{3} - \frac{4}{9}$. Приводим к общему знаменателю 9: $\frac{2}{3} = \frac{2 * 3}{3 * 3} = \frac{6}{9}$ $\frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{6 - 4}{9} = \frac{2}{9}$
• Умножаем на $\frac{5}{3}$: $\frac{2}{9} * \frac{5}{3} = \frac{2 * 5}{9 * 3} = \frac{10}{27}$

Ответ: $\frac{10}{27}$