а) На сколько процентов масса апельсина меньше массы грейпфрута, если масса грейпфрута на 100% больше массы апельсина?
б) У Саши средняя оценка по математике на 25% выше средней оценки по математике у Коли. На сколько процентов средняя оценка по математике у Коли ниже средней оценки у Саши?

Для решения задач на проценты, особенно когда речь идет о сравнении двух величин, важно четко понимать, что принимается за 100%. Разберем основные понятия и подходы, которые помогут справиться с такими задачами.

Что такое процент?

Процент − это сотая доля чего−либо. Если мы говорим, что что−то увеличилось на 100%, это означает, что оно увеличилось в два раза (стало равно двум исходным значениям). Если что−то уменьшилось на 50%, это означает, что оно уменьшилось вдвое (стало равно половине исходного значения).

Основные типы задач на проценты, используемые в этих примерах:

1. Нахождение процента от числа: Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и умножить на 100%.
2. Увеличение числа на заданный процент: Чтобы увеличить число на заданный процент, нужно умножить это число на (1 + процент/100). Например, увеличить число x на 25% − это умножить x на 1.25.
3. Уменьшение числа на заданный процент: Чтобы уменьшить число на заданный процент, нужно умножить это число на (1 − процент/100). Например, уменьшить число x на 20% − это умножить x на 0.8.
4. Сравнение двух величин в процентах: Важно определить, какая величина принимается за 100%. Если говорится, что величина A на сколько−то процентов больше величины B, это значит, что величина B принимается за 100%. И наоборот.

Решение задачи а):

1. Определение "базы" сравнения: В задаче сказано, что масса грейпфрута на 100% больше массы апельсина. Это означает, что масса апельсина принимается за 100%.

2. Выражение массы грейпфрута через массу апельсина: Пусть масса апельсина равна x. Тогда масса грейпфрута равна x + 100% от x = x + x = 2x.

3. Нахождение разницы в массе: Разница в массе между грейпфрутом и апельсином составляет 2x − x = x.

4. Определение, от чего считать процент: Нас спрашивают, на сколько процентов масса апельсина МЕНЬШЕ массы грейпфрута. Значит, за 100% теперь принимается масса грейпфрута (2x).

5. Расчет процента: Чтобы найти, на сколько процентов масса апельсина меньше массы грейпфрута, нужно разницу в массе (x) разделить на массу грейпфрута (2x) и умножить на 100%:

$\frac{x}{2x}$ * 100% = $\frac{1}{2}$ * 100% = 50%

Ответ: Масса апельсина на 50% меньше массы грейпфрута.

Решение задачи б):

1. Определение "базы" сравнения: В задаче сказано, что средняя оценка Саши на 25% ВЫШЕ средней оценки Коли. Это означает, что средняя оценка Коли принимается за 100%.

2. Выражение оценки Саши через оценку Коли: Пусть средняя оценка Коли равна x. Тогда средняя оценка Саши равна x + 25% от x = x + 0.25x = 1.25x.

3. Нахождение разницы в оценках: Разница в оценках между Сашей и Колей составляет 1.25x − x = 0.25x.

4. Определение, от чего считать процент: Нас спрашивают, на сколько процентов средняя оценка Коли НИЖЕ средней оценки Саши. Значит, за 100% теперь принимается средняя оценка Саши (1.25x).

5. Расчет процента: Чтобы найти, на сколько процентов средняя оценка Коли ниже средней оценки Саши, нужно разницу в оценках (0.25x) разделить на среднюю оценку Саши (1.25x) и умножить на 100%:

$\frac{0,25x}{1,25x}$ * 100% = $\frac{25}{125}$ * 100% = $\frac{1}{5}$ * 100% = 20%

Ответ: Средняя оценка по математике у Коли на 20% ниже средней оценки у Саши.