Припишите к числу 1000 по одной цифре справа и слева так, чтобы число делилось на 2, 3, 6 и 9.

Для того, чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить признаки делимости на 2, 3, 6 и 9.

• Признак делимости на 2: Число делится на 2, если последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8).
• Признак делимости на 3: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Признак делимости на 6: Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.
• Признак делимости на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Поскольку число должно делиться и на 6, и на 9, достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 9 (так как если число делится на 9, оно автоматически делится и на 3).

Итак, наша задача − найти такие цифры a и b, чтобы число a1000b делилось на 2 и на 9.
Так как число a1000b должно делится на 2, то b может быть только четной цифрой 0, 2, 4, 6 или 8.

Теперь рассмотрим делимость на 9. Сумма цифр числа a1000b должна делиться на 9. То есть, a + 1 + 0 + 0 + 0 + b = a + b + 1 должно делиться на 9.

Теперь перебираем возможные значения b и смотрим, какое a нам подходит:

• Если b = 0, то a + 0 + 1 = a + 1 должно делиться на 9. Подходит a = 8, так как 8 + 1 = 9. Получаем число 810000.
• Если b = 2, то a + 2 + 1 = a + 3 должно делиться на 9. Подходит a = 6, так как 6 + 3 = 9. Получаем число 610002.
• Если b = 4, то a + 4 + 1 = a + 5 должно делиться на 9. Подходит a = 4, так как 4 + 5 = 9. Получаем число 410004.
• Если b = 6, то a + 6 + 1 = a + 7 должно делиться на 9. Подходит a = 2, так как 2 + 7 = 9. Получаем число 210006.
• Если b = 8, то a + 8 + 1 = a + 9 должно делиться на 9. Подходит a = 0 или a = 9, так как 0 + 9 = 9 и 9 + 9 = 18. Но a не может быть нулем, так как тогда число не будет шестизначным. Значит, подходит a = 9. Получаем число 910008.

Таким образом, у нас несколько вариантов: 810000, 610002, 410004, 210006, 910008.

Ответ: 810000, 610002, 410004, 210006, 910008.