В классе 7 человек хорошо умеют плавать. Сколькими способами из них можно отобрать трех человек для участия в школьных соревнованиях?

Для решения этой задачи нам потребуется понимание комбинаторики, а именно, понятия сочетаний. Давай разберемся, что это такое и как это применить к нашей задаче.

Теория:

Когда мы выбираем несколько объектов из группы, и порядок выбора не важен, мы имеем дело с сочетаниями. Например, если нам нужно выбрать двух дежурных из класса, неважно, кого мы выбрали первым, а кого вторым – важна только сама пара дежурных.

В отличие от перестановок, где важен порядок, в сочетаниях порядок не имеет значения.

Формула для расчета числа сочетаний:

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается как C(n, k) или иногда как nCk, и вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! : (k! * (n − k)!)

где:

• n! (читается как "эн факториал") − это произведение всех натуральных чисел от 1 до n (например, 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120).
• k! − это факториал числа k.
• (n − k)! − это факториал разности между n и k.

Пример:

Предположим, у нас есть 4 друга: Андрей, Борис, Виктор и Григорий. Мы хотим выбрать 2 из них для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами мы можем это сделать?

Здесь n = 4 (общее число друзей), k = 2 (число друзей, которых нужно выбрать).

C(4, 2) = 4! : (2! * (4 − 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (1 * 2 * 3 * 4) : ((1 * 2) * (1 * 2)) = 24 : (2 * 2) = 24 : 4 = 6

Таким образом, мы можем выбрать двух друзей для участия в олимпиаде 6 различными способами.

Решение задачи:

Теперь вернемся к нашей задаче. У нас есть 7 пловцов, и нам нужно выбрать 3 из них для участия в соревнованиях. Порядок выбора не важен, поэтому мы используем сочетания.

n = 7 (общее количество пловцов)
k = 3 (количество пловцов, которых нужно выбрать)

C(7, 3) = 7! : (3! * (7 − 3)!) = 7! : (3! * 4!) = (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7) : ((1 * 2 * 3) * (1 * 2 * 3 * 4))

Теперь можно сократить дробь:

= (5 * 6 * 7) : (1 * 2 * 3) = (5 * 6 * 7) : 6 = 5 * 7 = 35

Итак, существует 35 способов выбрать трех пловцов из семи для участия в школьных соревнованиях.

Ответ: 35 способов.