Составьте множество A всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 20, и множество B всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 30. Найдите пересечение и объединение множеств A и B.

Прежде чем приступить к решению, давай вспомним основные понятия, которые нам понадобятся:

Делитель:
Делителем числа называют такое число, на которое данное число делится без остатка. Например, делителями числа 6 являются числа 1, 2, 3 и 6.

Множество:
Множество – это группа объектов, объединенных по какому−либо признаку. Объекты, входящие в множество, называются элементами этого множества. Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (A, B, C и т.д.), а элементы множества записываются в фигурных скобках { }.

Пересечение множеств:
Пересечением двух множеств A и B называется множество, которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству A, и множеству B. Пересечение множеств обозначается символом ∩ (например, A ∩ B).

Объединение множеств:
Объединением двух множеств A и B называется множество, которое содержит все элементы, принадлежащие либо множеству A, либо множеству B, либо обоим множествам сразу. Объединение множеств обозначается символом ∪ (например, A ∪ B).

Теперь, когда мы повторили теорию, давай решим задачу шаг за шагом:

1. Множество A (делители числа 20):

Чтобы найти все натуральные числа, на которые делится число 20 без остатка, нужно перебрать все натуральные числа от 1 до 20 и проверить, делится ли на них 20.

• 20 делится на 1 (20 : 1 = 20)
• 20 делится на 2 (20 : 2 = 10)
• 20 не делится на 3
• 20 делится на 4 (20 : 4 = 5)
• 20 делится на 5 (20 : 5 = 4)
• 20 не делится на 6, 7, 8, 9
• 20 делится на 10 (20 : 10 = 2)
• 20 не делится на 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19
• 20 делится на 20 (20 : 20 = 1)

Итак, множество A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

2. Множество B (делители числа 30):

Аналогично, найдем все натуральные числа, на которые делится число 30 без остатка.

• 30 делится на 1 (30 : 1 = 30)
• 30 делится на 2 (30 : 2 = 15)
• 30 делится на 3 (30 : 3 = 10)
• 30 не делится на 4
• 30 делится на 5 (30 : 5 = 6)
• 30 делится на 6 (30 : 6 = 5)
• 30 не делится на 7, 8, 9
• 30 делится на 10 (30 : 10 = 3)
• 30 не делится на 11, 12, 13, 14
• 30 делится на 15 (30 : 15 = 2)
• 30 не делится на 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
• 30 делится на 30 (30 : 30 = 1)

Итак, множество B = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

3. Пересечение множеств A и B (A ∩ B):

Найдем элементы, которые входят и в множество A, и в множество B.

• 1 входит в A и в B
• 2 входит в A и в B
• 4 входит в A, но не входит в B
• 5 входит в A и в B
• 10 входит в A и в B
• 20 входит в A, но не входит в B

Следовательно, A ∩ B = {1, 2, 5, 10}

4. Объединение множеств A и B (A ∪ B):

Найдем все элементы, которые входят либо в множество A, либо в множество B, либо в оба множества сразу.

• 1 входит в A и в B
• 2 входит в A и в B
• 3 входит в B
• 4 входит в A
• 5 входит в A и в B
• 6 входит в B
• 10 входит в A и в B
• 15 входит в B
• 20 входит в A
• 30 входит в B

Следовательно, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30}

Ответ:

A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
B = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
A ∩ B = {1, 2, 5, 10}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30}