Найдите корень уравнения:
а) $(2 - 1\frac{2}{3}) * x = \frac{5}{9}$;
б) $x : (\frac{2}{3} + \frac{1}{9}) = \frac{9}{35}$.

Для решения уравнений, представленных в задании, нам понадобятся знания об обыкновенных дробях, смешанных числах и основных арифметических операциях.

1. Обыкновенные дроби: Дробь вида $\frac{a}{b}$, где $a$ − числитель, $b$ − знаменатель.
2. Смешанные числа: Число, состоящее из целой и дробной части, например, $1\frac{2}{3}$. Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним. Например, $1\frac{2}{3} = \frac{1*3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
3. Сложение и вычитание дробей: Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель − это число, которое делится на оба знаменателя. Обычно в качестве общего знаменателя берут наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Затем нужно привести каждую дробь к новому знаменателю, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель. После этого можно сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить прежним.

Например: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1*3}{2*3} + \frac{1*2}{3*2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

4. Умножение дробей: Чтобы умножить две дроби, нужно умножить их числители и знаменатели: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$.
5. Деление дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$.
6. Решение уравнений: Чтобы найти неизвестное в уравнении, нужно выполнить обратные действия. Если в уравнении есть сложение, нужно вычесть; если есть вычитание, нужно сложить; если есть умножение, нужно разделить; если есть деление, нужно умножить.

Теперь решим уравнения из задания:

а) $(2 - 1\frac{2}{3}) * x = \frac{5}{9}$

Сначала упростим выражение в скобках:
$2 - 1\frac{2}{3} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$

Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{1}{3} * x = \frac{5}{9}$

Чтобы найти $x$, нужно разделить $\frac{5}{9}$ на $\frac{1}{3}$:
$x = \frac{5}{9} : \frac{1}{3} = \frac{5}{9} * \frac{3}{1} = \frac{5 * 3}{9 * 1} = \frac{15}{9}$

Сократим дробь $\frac{15}{9}$ на 3:
$x = \frac{15 : 3}{9 : 3} = \frac{5}{3}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{5}{3}$ в смешанное число:
$x = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $x = 1\frac{2}{3}$

б) $x : (\frac{2}{3} + \frac{1}{9}) = \frac{9}{35}$

Сначала упростим выражение в скобках:
$\frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{2 * 3}{3 * 3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$

Теперь уравнение выглядит так:
$x : \frac{7}{9} = \frac{9}{35}$

Чтобы найти $x$, нужно умножить $\frac{9}{35}$ на $\frac{7}{9}$:
$x = \frac{9}{35} * \frac{7}{9} = \frac{9 * 7}{35 * 9} = \frac{63}{315}$

Сократим дробь $\frac{63}{315}$. Заметим, что $315 = 63 * 5$, значит, дробь можно сократить на 63:
$x = \frac{63 : 63}{315 : 63} = \frac{1}{5}$

Ответ: $x = \frac{1}{5}$