Найдите значение выражения:
а) $3\frac{8}{13} - \frac{5}{13} + (1\frac{5}{39} - \frac{1}{13})$;
б) $(1\frac{2}{3} - \frac{1}{6})^2 * 2\frac{1}{3} : \frac{5}{6}$.

Сначала давай вспомним основные правила работы с дробями, которые нам понадобятся:

1. Сложение и вычитание дробей: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю.
2. Смешанные числа: Смешанное число состоит из целой и дробной части (например, $1\frac{2}{3}$). Чтобы выполнять арифметические действия, часто удобнее перевести смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножаем целую часть на знаменатель дробной части и прибавляем числитель. Полученное число будет новым числителем, а знаменатель остается прежним. Например: $1\frac{2}{3} = \frac{1*3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
3. Умножение дробей: Чтобы умножить дроби, нужно умножить их числители и их знаменатели: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$.
4. Деление дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$.
5. Возведение дроби в степень: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Теперь разберем каждое выражение по шагам.

а) $3\frac{8}{13} - \frac{5}{13} + (1\frac{5}{39} - \frac{1}{13})$

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Но для этого надо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 39 и 13 будет 39. Значит, $\frac{1}{13}$ надо умножить на $\frac{3}{3}$:

$\frac{1}{13} = \frac{1*3}{13*3} = \frac{3}{39}$

Тогда выражение в скобках будет:

$1\frac{5}{39} - \frac{3}{39} = 1\frac{2}{39}$

2. Теперь перепишем всё выражение:

$3\frac{8}{13} - \frac{5}{13} + 1\frac{2}{39}$

3. Сначала выполним вычитание $3\frac{8}{13} - \frac{5}{13}$:

$3\frac{8}{13} - \frac{5}{13} = 3\frac{8-5}{13} = 3\frac{3}{13}$

4. Теперь сложим полученный результат с $1\frac{2}{39}$. Опять нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 13 и 39 будет 39. Значит, $\frac{3}{13}$ надо умножить на $\frac{3}{3}$:

$\frac{3}{13} = \frac{3*3}{13*3} = \frac{9}{39}$

Тогда выражение будет:

$3\frac{9}{39} + 1\frac{2}{39} = (3 + 1) + (\frac{9}{39} + \frac{2}{39}) = 4 + \frac{9+2}{39} = 4\frac{11}{39}$

Ответ: $4\frac{11}{39}$

б) $(1\frac{2}{3} - \frac{1}{6})^2 * 2\frac{1}{3} : \frac{5}{6}$

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого нужно перевести смешанное число в неправильную дробь и привести дроби к общему знаменателю:

$1\frac{2}{3} = \frac{1*3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Общий знаменатель для 3 и 6 будет 6. Значит, $\frac{5}{3}$ надо умножить на $\frac{2}{2}$:

$\frac{5}{3} = \frac{5*2}{3*2} = \frac{10}{6}$

Тогда выражение в скобках будет:

$\frac{10}{6} - \frac{1}{6} = \frac{10-1}{6} = \frac{9}{6}$

2. Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(\frac{9}{6})^2 = \frac{9^2}{6^2} = \frac{81}{36}$

3. Переведем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{3} = \frac{2*3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

4. Теперь выполним умножение:

$\frac{81}{36} * \frac{7}{3} = \frac{81*7}{36*3} = \frac{567}{108}$

Можно сократить дробь на 9:

$\frac{567:9}{108:9} = \frac{63}{12}$

Еще можно сократить дробь на 3:

$\frac{63:3}{12:3} = \frac{21}{4}$

5. Теперь выполним деление, заменив его умножением на перевернутую дробь:

$\frac{21}{4} : \frac{5}{6} = \frac{21}{4} * \frac{6}{5} = \frac{21*6}{4*5} = \frac{126}{20}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{126:2}{20:2} = \frac{63}{10}$

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{63}{10} = 6\frac{3}{10}$

Ответ: $6\frac{3}{10}$