Бросают два игральных кубика. Если сумма очков 3 − выиграл 1−й, если сумм очков 2 − выиграл 2−й. Справедлива ли эта игра?

Бросают два игральных кубика. Если сумма очков 3 − выиграл 1−й, если сумм очков 2 − выиграл 2−й. Справедлива ли эта игра?
Решение:
Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при бросании кубика равно 6, так как кубик имеет 6 граней.
Для того чтобы сумма очков была равна 3, необходимы следующие варианты:
− 2 очка на первом кубике и 1 очко на втором кубике;
− 1 очко на первом кубике и 2 очка на втором кубике.
Вероятность выпадения 2 очков на первом кубике равна

;
Вероятность выпадения 1 очка на первом кубике равна ;
Вероятность выпадения 2 очков на втором кубике равна ;
Вероятность выпадения 1 очка на втором кубике равна ;
Вероятность одновременного выпадения 2 очков на первом кубике и 1 очка на втором кубике равна * = ;
Вероятность одновременного выпадения 1 очка на первом кубике и 2 очков на втором кубике равна * = ;
Вероятность выпадения суммы 3 очка на двух кубиках равна + = = , таким образом вероятность победы первого игрока равна .
Для того чтобы сумма очков была равна 2, необходим следующий вариант:
− 1 очко на одном кубике и 1 очко на другом кубике.
Вероятность выпадения 1 очка на одном кубике равна ;
Вероятность выпадения 1 очка на другом кубике равна .
Вероятность одновременного выпадения 1 очка на одном кубике и 1 очка на другом кубике равна * = , таким образом вероятность победы второго игрока равна .
> , то есть вероятность победы первого игрока выше вероятности победы второго игрока, следовательно, игра не справедлива.
Ответ: Игра не справедлива.
Бросают два игральных кубика. Если сумма очков 12 − выиграл 1−й, если сумм очков 2 − выиграл 2−й. Справедлива ли эта игра?
Решение:
Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при бросании кубика равно 6, так как кубик имеет 6 граней.
Для того чтобы сумма очков была равна 12, необходим следующий вариант:
− 6 очков на одном кубике и 6 очков на другом кубике.
Вероятность выпадения 6 очков на одном кубике равна ;
Вероятность выпадения 6 очков на другом кубике равна .
Вероятность одновременного выпадения 6 очков на одном кубике и 6 очков на другом кубике равна * = , таким образом вероятность победы первого игрока равна .
Для того чтобы сумма очков была равна 2, необходим следующий вариант:
− 1 очко на одном кубике и 1 очко на другом кубике.
Вероятность выпадения 1 очка на одном кубике равна ;
Вероятность выпадения 1 очка на другом кубике равна .
Вероятность одновременного выпадения 1 очка на одном кубике и 1 очка на другом кубике равна * = , таким образом вероятность победы второго игрока равна .
= , то есть вероятность победы первого игрока равна вероятности победы второго игрока, следовательно, игра справедлива.
Ответ: Игра справедлива.

Бросают две монеты. Если выпадут две решки, то выиграл 1−й, если выпадут два орла, то выиграл 2−й. Справедлива ли эта игра?

Бросают две монеты. Если выпадут две решки, то выиграл 1−й, если выпадут два орла, то выиграл 2−й. Справедлива ли эта игра?
Решение:
Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при бросании монеты равно 2, так как монета имеет две стороны.
Количество случаев, благоприятствующих выпадению решки равно 1, так как только на 1 стороне расположена решка.
Вероятность выпадения решки при однократном подбрасывании монеты равна

.
Вероятность одновременного выпадения двух решек при подбрасывании двух монет равна * = . Таким образом вероятность победы перового игрока равна .
Количество случаев, благоприятствующих выпадению орла равно 1, так как только на 1 стороне расположен орёл.
Вероятность выпадения орла при однократном подбрасывании монеты равна .
Вероятность одновременного выпадения двух орлов при подбрасывании двух монет равна * = . Таким образом вероятность победы второго игрока равна .
= , вероятности побед двух игроков равны, игра справедлива.
Ответ: Игра справедлива.
Бросают две монеты. Если выпадут две решки, то выиграл 1−й, если выпадут орел и решка, то выиграл 2−й. Справедлива ли эта игра?
Решение:
Число всех равновозможных случаев, одно из которых обязательно произойдет при бросании монеты равно 2, так как монета имеет две стороны.
Количество случаев, благоприятствующих выпадению решки равно 1, так как только на 1 стороне расположена решки.
Вероятность выпадения решки при однократном подбрасывании монеты равна .
Вероятность одновременного выпадения двух решек при подбрасывании двух монет равна * = . Таким образом вероятность победы перового игрока равна .
Количество случаев, благоприятствующих выпадению нужной стороны при подбрасывании первой монеты для второго игрока равно 2, так как для второго игрока не имеет значения какой стороной упадёт первая монета.
Вероятность выпадения нужной стороны при подбрасывании первой монеты для второго игрока равна = 1.
Количество случаев, благоприятствующих выпадению нужной стороны при подбрасывании второй монеты для второго игрока равно 1, так как если на первой монете выпал орел, то на второй необходимо чтобы выпала решка и наоборот, если на первой выпала решка, то на второй необходимо чтобы выпал орел.
Вероятность выпадения нужной стороны при подбрасывании второй монеты для второго игрока равна .
Вероятность одновременного выпадения орла на одной монете и решки на второй монете равна 1 * = . Таким образом вероятность победы второго игрока равна .
< вероятность победы первого игрока меньше, чем вероятность победы второго игрока, соответственно условия игры не справедливы.
Ответ: Игра не справедлива.