Вычислите:
а) $(\frac{2}{5})^2$;
б) $(\frac{3}{4} - \frac{2}{3})^2$;
в) $(\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{4})^2$.

Для того чтобы решить эти примеры, нужно знать следующие правила и теоретические сведения:

Возведение дроби в степень
Если обыкновенную дробь возвести в степень, то числитель и знаменатель возводятся в эту же степень.
Например,
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$

Вычитание дробей
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, а затем вычесть числители:
$$ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} $$

Порядок действий
Сначала выполняются действия в скобках, затем возведение в степень, потом сложение или вычитание.

Теперь решим каждый пункт по порядку.

а)
$$ \left(\frac{2}{5}\right)^2 $$

Возводим дробь в квадрат:

$$ = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} $$

Ответ: $ \frac{4}{25} $

б)
$$ \left(\frac{3}{4} - \frac{2}{3}\right)^2 $$

Сначала вычтем дроби. Найдём общий знаменатель:

Наименьшее общее кратное чисел 4 и 3 — это 12.

Приведём дроби к общему знаменателю:
$$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $$

Вычтем:
$$ \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12} $$

Теперь возведём в квадрат:
$$ \left(\frac{1}{12}\right)^2 = \frac{1^2}{12^2} = \frac{1}{144} $$

Ответ: $ \frac{1}{144} $

в)
$$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 $$

Сначала возведём дроби в степени.

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}, \quad \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16} $$

Теперь вычтем:
Найдём общий знаменатель. Наименьшее общее кратное 8 и 16 — это 16.

$$ \frac{1}{8} = \frac{2}{16}, \quad \frac{1}{16} = \frac{1}{16} $$

$$ \frac{2}{16} - \frac{1}{16} = \frac{1}{16} $$

Ответ: $ \frac{1}{16} $

Итоговые ответы:

а) $ \frac{4}{25} $
б) $ \frac{1}{144} $
в) $ \frac{1}{16} $