Проверьте равенства:
$\frac{1}{3} * \frac{1}{5} = \frac{1}{2} * (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$,
$\frac{1}{5} * \frac{1}{7} = \frac{1}{2} * (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$,
$\frac{1}{7} * \frac{1}{9} = \frac{1}{2} * (\frac{1}{7} - \frac{1}{9})$ и т.д.
Используя эти равенства, докажите:
$\frac{1}{3} * \frac{1}{5} + \frac{1}{5} * \frac{1}{7} + \frac{1}{7} * \frac{1}{9} + \frac{1}{9} * \frac{1}{11} + \frac{1}{11} * \frac{1}{13} + \frac{1}{13} * \frac{1}{15} = \frac{2}{15}$.

Для начала подробно разберёмся с теоретической частью, которая поможет понять, как решать задачу.

Теоретическая часть

1. Дроби и их умножение
Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить числители и знаменатели:
$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$

2. Вычитание дробей с разными знаменателями
Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно привести их к общему знаменателю:
$$ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d} $$

3. Проверка равенств
Нам нужно доказать, что:
$$ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n+2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $$
Посмотрим на правую часть:
Преобразуем разность:
$$ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} = \frac{(n+2) - n}{n(n+2)} = \frac{2}{n(n+2)} $$
Теперь умножим это на $ \frac{1}{2} $:
$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{2}{2n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n+2} $$
Именно это стоит в левой части. Значит, равенство действительно верное!

Теперь проверим каждый случай.

---

Проверим равенства:

1. $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$

Левая часть:
$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} $$

Правая часть:
$$ \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 3}{15} = \frac{2}{15},\quad \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$

Равно!

2. $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)$

Левая часть:
$$ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{35} $$

Правая часть:
$$ \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 5}{35} = \frac{2}{35},\quad \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} = \frac{1}{35} $$

Равно!

3. $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right)$

Левая часть:
$$ \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{63} $$

Правая часть:
$$ \frac{1}{7} - \frac{1}{9} = \frac{9 - 7}{63} = \frac{2}{63},\quad \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{63} = \frac{1}{63} $$

Равно!

Аналогично для остальных выражений: $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n+2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$ — это равенство верно всегда, как мы доказали выше.

---

Теперь докажем:

$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{15} $$

Каждое слагаемое преобразуем по формуле:
$$ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n+2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $$

Тогда наша сумма превращается в:

$$ \frac{1}{2} \cdot \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{13} - \frac{1}{15}\right) \right] $$

Теперь раскрываем скобки сложения:

$$ \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right) $$

Смотрим: $ -\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 0 $, $ -\frac{1}{7} + \frac{1}{7} = 0 $, и т.д.

Всё сокращается, остаётся только:

$$ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{15}\right) $$

Находим разность:
$$ \frac{1}{3} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 1}{15} = \frac{4}{15} $$

Теперь делим на 2:
$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} $$

Ответ:
$$ \frac{2}{15} $$