Как сложить смешанные числа?
Какие свойства сложения используются при сложении смешанных чисел?

Чтобы правильно складывать смешанные числа, нужно хорошо понимать, что такое смешанное число, и знать свойства сложения, которые пригодятся при выполнении действий.

Теоретическая часть

1. Что такое смешанное число?

Смешанное число — это число, которое состоит из целой части и дробной части. Например:

• $ 2\frac{1}{3} $ — это смешанное число, где 2 — целая часть, а $ \frac{1}{3} $ — дробная часть.

Смешанное число можно также представить в виде неправильной дроби. Например:

• $ 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} $

Но не всегда обязательно переводить в неправильную дробь! Иногда проще складывать по частям — отдельно целые части и отдельно дробные.

2. Как сложить смешанные числа?

Есть два основных способа:

Способ 1. Складывать по частям:

1. Складываем целые части.
2. Складываем дробные части.
3. Если в результате сложения дробных частей получается неправильная дробь (т.е. числитель больше знаменателя), выделяем из неё ещё одну целую часть и прибавляем к результату.

Пример:
$ 3\frac{2}{5} + 4\frac{3}{5} $

1. Складываем целые части: $ 3 + 4 = 7 $
2. Складываем дробные части: $ \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1 $
3. Итак, имеем: $ 7 + 1 = 8 $

Ответ: $ 8 $

Способ 2. Переводим в неправильные дроби, складываем, затем переводим обратно в смешанное число:

1. Переводим каждое смешанное число в неправильную дробь.
2. Приводим к общему знаменателю (если нужно).
3. Складываем дроби.
4. Если получится неправильная дробь — выделяем целую часть и дробь.

Пример:
$ 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3} $

1. $ 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} $, $ 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} $
2. Приводим к общему знаменателю: НОК 4 и 3 = 12
− $ \frac{7}{4} = \frac{21}{12} $
− $ \frac{8}{3} = \frac{32}{12} $
3. $ \frac{21}{12} + \frac{32}{12} = \frac{53}{12} $
4. $ \frac{53}{12} = 4\frac{5}{12} $

Ответ: $ 4\frac{5}{12} $

3. Какие свойства сложения используются?

При сложении смешанных чисел используются следующие свойства сложения:

• Переместительное свойство (от перестановки слагаемых сумма не меняется):
  $ a + b = b + a $
  Например: $ 2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{5} = 3\frac{2}{5} + 2\frac{1}{5} $

• Сочетательное свойство (как сгруппируем, так и сложим):
  $ (a + b) + c = a + (b + c) $
  Например: $ (1\frac{1}{4} + 2\frac{2}{4}) + 3\frac{1}{4} = 1\frac{1}{4} + (2\frac{2}{4} + 3\frac{1}{4}) $

• Сложение по частям — можно сложить отдельно целые и отдельно дробные части.

Вывод:

Чтобы сложить смешанные числа:
− Можно складывать по частям: отдельно целые и дробные.
− Или переводить в неправильные дроби, сложить, и потом обратно в смешанное.
− Используются свойства: переместительное, сочетательное, и распределение сложения по частям.