а) Из цифр 6, 7, 8, 9 и 2 составьте четырехзначные числа, в записи которых цифры не повторяются. Сколько чисел получили?
б) Сколько чисел можно получить, если надо составить пятизначные числа из шести цифр 1, 3, 5, 7, 8, 9?

Чтобы правильно решить задачу, сначала нужно изучить теоретическую часть, связанную с перестановками и размещениями.

Теоретическая часть:

Если нам нужно составить числа из разных цифр (то есть цифры не повторяются), мы используем формулу размещений без повторений:

$$ A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} $$

где:
− $ n $ — общее количество доступных цифр;
− $ k $ — сколько цифр используем для составления числа;
− $ ! $ — факториал, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

Если цифры могут повторяться, то мы используем размещения с повторением:

$$ n^k $$

где:
− $ n $ — количество доступных цифр;
− $ k $ — сколько цифр в числе.

Также важно помнить, что числа не должны начинаться с нуля (но в этой задаче нуля нет, так что можно не беспокоиться об этом).

а) Нужно составить четырёхзначные числа из цифр 6, 7, 8, 9 и 2, причём цифры не повторяются.

Всего у нас 5 разных цифр: 6, 7, 8, 9, 2
Нужно составить четырёхзначные числа, то есть на каждую позицию (тысячи, сотни, десятки, единицы) ставим разную цифру.

Сколько таких чисел можно составить?

Используем формулу размещений без повторений:

$$ A_5^4 = \frac{5!}{(5 - 4)!} = \frac{5!}{1!} = \frac{120}{1} = 120 $$

Можно также расписать пошагово:

• На первую позицию можно поставить любую из 5 цифр (6, 7, 8, 9, 2) — 5 вариантов.
• На вторую — любую из оставшихся 4 цифр — 4 варианта.
• На третью — любую из оставшихся 3 — 3 варианта.
• На четвёртую — любую из оставшихся 2 — 2 варианта.

$$ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 $$

Ответ на а): 120 четырёхзначных чисел

б) Нужно составить пятизначные числа из 6 цифр: 1, 3, 5, 7, 8, 9, причём:

• цифры не повторяются (вариант 1);
• цифры могут повторяться (вариант 2).

Вариант 1: без повторений

У нас есть 6 разных цифр, составляем пятизначные числа без повторений.

Значит, используем размещения без повторений:

$$ A_6^5 = \frac{6!}{(6 - 5)!} = \frac{6!}{1!} = \frac{720}{1} = 720 $$

Можно расписать:

• На первую позицию — 6 вариантов (любая).
• На вторую — 5 (одну уже использовали).
• На третью — 4.
• На четвёртую — 3.
• На пятую — 2.

$$ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720 $$

Ответ без повторений: 720 пятизначных чисел

Вариант 2: с повторениями

В этом случае можно использовать любую из 6 цифр на каждой позиции, и цифры могут повторяться.

То есть:

• 6 вариантов на первую цифру,
• 6 на вторую,
• 6 на третью,
• 6 на четвёртую,
• 6 на пятую.

Всего:

$$ 6^5 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 7776 $$

Ответ с повторениями: 7776 пятизначных чисел

Итоги:

а) 120 четырёхзначных чисел без повторений из 5 цифр: 6, 7, 8, 9, 2.
б)
− 720 пятизначных чисел без повторений из 6 цифр: 1, 3, 5, 7, 8, 9
− 7776 пятизначных чисел с повторениями из 6 цифр: 1, 3, 5, 7, 8, 9

Ответ:
а) 120 чисел
б) 720 чисел (если без повторений) или 7776 чисел (если с повторениями)