а) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел:
$P = n^2 + n + 41$
.
Для любых ли натуральных n число P простое?
б) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле:
$P = n^2 + n + 41$
,
если брать последовательные натуральные числа, начиная с n = 1?
Решение а
Нет, так как для простого числа 41 число
$P = 41^2 + 41 + 41$
делится на 1, на 41 и на P, то есть число P составное.
Решение б
По формуле:
$P = n^2 + n + 41$
можно получить множество простых чисел, если брать последовательные натуральные числа, начиная с n = 1, однако, если n кратно 41, то и результат
$n^2 + n + 41$
будет кратным 41, то есть результат будет составным числом. Поэтому, при n = 1,2,3,4, ..., 40 получается простое число, а при n = 41 получается составное число, кратное 41.
При n = 42,43,44, ..., 81 получается простое число, а при n = 82 получается составное число, кратное 41. И так далее.
