Возьмем четное количество нечетных чисел, например 2 числа, тогда пусть:
2a + 1 − первое нечетное число;
2b + 1 − второе нечетное число, тогда их сумма:
2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) − четное число, так как делится на 2.
Получается, что если количество нечетных слагаемых четное, то их всегда можно сгруппировать по парам. Сумма пар будет четным числом, а сумма образовавшихся четных чисел будет также четным числом.

Возьмем четное количество нечетных чисел, например 3 числа, тогда пусть:
2a + 1 − первое нечетное число;
2b + 1 − второе нечетное число;
2c + 1 − третье нечетное число, тогда их сумма:
2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 = (2a + 2b + 2c + 2) + 1 = 2(a + b + c + 1) + 1 − получается, что к четному числу 2(a + b + c + 1) прибавляется 1, значит число 2(a + b + c + 1) + 1 − нечетное. Получается, что если количество нечетных слагаемых нечетное, то их нельзя сгруппировать по парам, так как останется одно нечетное слагаемое без пары. А сумма четного и нечетного числе будет нечетной.