Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. Например, в четырехугольнике ABCD отрезка AC и BD − диагонали (рис.119).
Сколько диагоналей в выпуклом:
а) четырехугольнике;
б) пятиугольнике;
в) шестиугольнике;
г) семиугольнике?
Пусть многоугольник имеет n вершин. Тогда из каждой вершины выходит (n − 3) диагоналей (1 − сама вершина и 2 − соседние вершины).
Так как диагональ соединяет 2 вершины, значит необходимо (n − 3) разделить пополам и умножить на количество вершин, тогда мы получим, что количество диагоналей n − угольника равняется n * (n − 3) : 2.
а) 4 * (4 − 3) : 2 = 4 * 1 : 2 = 2 (диагонали) − в выпуклом четырехугольнике.
б) 5 * (5 − 3) : 2 = 5 * 2 : 2 = 10 : 2 = 5 (диагоналей) − в выпуклом пятиугольнике.
в) 6 * (6 − 3) : 2 = 6 * 3 : 2 = 18 : 2 = 9 (диагоналей) − в выпуклом шестиугольнике.
г) 7 * (7 − 3) : 2 = 7 * 4 : 2 = 28 : 2 = 14 (диагоналей) − в выпуклом семиугольнике.
Посмотреть калькулятор Натуральные числа