Математика 5 класс Никольский, Потапов, Решетников

Учебник по математике 5 класс Никольский

авторы: , , .
издательство: Просвещение 2017 год

Посмотреть глоссарий

Номер №1075

Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$
, где a, b, c, d − нечетные натуральные числа?

Решение

Пусть
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 1$
, где a, b, c, d − нечетные натуральные числа.
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{bcd + acd + abd + abc}{abcd}$

bcd, acd, abd, abc − нечетные числа (так как произведение любого числа нечетных чисел число нечетное), значит сумма
bcd + acd + abd + abc − четное число.
abcd − нечетное число (так как произведение любого числа нечетных чисел число нечетное).
Чтобы число
$\frac{bcd + acd + abd + abc}{abcd}$
равнялось 1, надо, чтобы выполнялось условие:
bcd + acd + abd + abc = abcd, но это невозможно, так как bcd + acd + abd + abc − четное число, а abcd − нечетное, значит они не равны. Поэтому число 1 нельзя представить в виде суммы дробей:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$
, где a, b, c, d − нечетные натуральные числа.
Ответ: нет, нельзя
Посмотреть глоссарий