Число 43 не делится без остатка ни на число 5, ни на число 2, значит только монетами по 5 рублей или только монетами по 2 рубля заплатить нельзя.
Тогда:
1)
пусть была одна монета 5 рублей, значит:
43 − 5 * 1 = 43 − 5 = 38 (р.) − остается заплатить;
38 : 2 = 19 (монет) − по 2 рубля нужно добавить, получается:
5 * 1 + 2 * 19 = 5 + 38 = 43 (р.)
2)
пусть было две монеты по 5 рублей, значит:
43 − 5 * 2 = 43 − 10 = 33 − число нечетное, поэтому его нельзя заплатить монетами по 2 рубля.
3)
пусть было три монеты по 5 рублей, значит:
43 − 5 * 3 = 43 − 15 = 28 (р.) − остается заплатить;
28 : 2 = 14 (монет) − по 2 рубля нужно добавить, получается:
5 * 3 + 2 * 14 = 15 + 28 = 43 (р.)
4)
пусть было четыре монеты по 5 рублей, значит:
43 − 5 * 4 = 43 − 20 = 23 − число нечетное, поэтому его нельзя заплатить монетами по 2 рубля.
5)
пусть было пять монет по 5 рублей, значит:
43 − 5 * 5 = 43 − 25 = 18 (р.) − остается заплатить;
18 : 2 = 9 (монет) − по 2 рубля нужно добавить, получается:
5 * 5 + 2 * 9 = 25 + 18 = 43 (р.)
6)
пусть было шесть монет по 5 рублей, значит:
43 − 5 * 6 = 43 − 30 = 13 − число нечетное, поэтому его нельзя заплатить монетами по 2 рубля.
7)
пусть было семь монет по 5 рублей, значит:
43 − 5 * 7 = 43 − 35 = 8 (р.) − остается заплатить;
8 : 2 = 4 (монеты) − по 2 рубля нужно добавить, получается:
5 * 7 + 2 * 4 = 35 + 8 = 43 (р.)
8)
пусть было восемь монет по 5 рублей, значит:
43 − 5 * 8 = 43 − 40 = 3 − число нечетное, поэтому его нельзя заплатить монетами по 2 рубля.
7)
пусть было девять монет по 5 рублей, значит:
43 − 5 * 9 = 43 − 45 − не возможно, так как 43 < 45.
Ответ: можно заплатить пятью способами:
1) одной монетой по 5 рублей и девятнадцатью монетами по 2 рубля;
2) тремя монетами по 5 рублей и четырнадцатью монетами по 2 рубля;
3) пятью монетами по 5 рублей и девятью монетами по 2 рубля;
4) семью монетами по 5 рублей и четырьмя монетами по 2 рубля.