Верны ли высказывания:
а) $\frac{5}{7} < \frac{5}{14}$;
б) $\frac{9}{2} ≥ \frac{2}{9}$;
в) $\frac{4}{9} + \frac{7}{9} - \frac{2}{9} ≥ 1$;
г) $2\frac{4}{5} - \frac{3}{5} + 4\frac{2}{5} < 7\frac{1}{5}$;
д) $1\frac{7}{8} + 3\frac{5}{8} + 2\frac{1}{8} ≤ \frac{61}{8}$;
е) $8\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7} - 2\frac{6}{7} > \frac{12}{7}$?

Для решения задачи, которая проверяет математические сравнения дробей, необходимо понимать следующие ключевые концепции, связанные с дробями, смешанными числами и их свойствами. Рассмотрим каждую теоретическую часть.

1. Сравнение дробей

Чтобы сравнить две дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого:
− Найдите наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей.
− Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на такой множитель, который приведет знаменатели к одному общему значению.
− После приведения к общему знаменателю сравнивайте числители: если числитель одной дроби больше, то эта дробь больше.

Пример:
Для сравнения $\frac{5}{7}$ и $\frac{5}{14}$, найдем НОК знаменателей $7$ и $14$. Наименьшее общее кратное равно $14$. Приводим дроби к общему знаменателю $14$:
$$ \frac{5}{7} = \frac{10}{14}, \quad \frac{5}{14} = \frac{5}{14}. $$
Теперь сравниваем числители ($10$ и $5$): $\frac{10}{14} > \frac{5}{14}$.

2. Работа с неравенствами

Когда требуется проверить неравенства (например, $ \geq, <, \leq, > $), важно использовать следующие правила:
− При сложении или вычитании дробей, приводите их к общему знаменателю.
− Смешанные числа преобразуйте в неправильные дроби для удобства вычислений.
− После выполнения операций сравнивайте результаты.

3. Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить или вычесть дроби:
− Приведите все дроби к общему знаменателю.
− Выполните арифметические действия с числителями, оставив знаменатель неизменным.
− Если результат — неправильная дробь, преобразуйте её обратно в смешанное число, если требуется.

Пример:
Сложим $\frac{4}{9} + \frac{7}{9} - \frac{2}{9}$:
$$ \frac{4}{9} + \frac{7}{9} = \frac{11}{9}, \quad \frac{11}{9} - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} = 1. $$

4. Работа со смешанными числами

Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Чтобы выполнить арифметические действия со смешанными числами:
− Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь. Формула:
$$ a\frac{b}{c} = \frac{ac + b}{c}. $$
− Выполните операции сложения или вычитания дробей, как описано выше.
− Если необходимо, преобразуйте неправильную дробь обратно в смешанное число.

Пример:
Для смешанного числа $2\frac{4}{5}$, преобразование:
$$ 2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5}. $$

5. Сравнение смешанных чисел и неправильных дробей

• Преобразуйте все смешанные числа в неправильные дроби.
• Если требуется сравнить дробь со смешанным числом, выполните преобразование смешанного числа в дробь, выполните арифметические действия и сравните.

Пример:
$7\frac{1}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$.

6. Проверка сложных неравенств

Если в задаче требуется проверить сложные неравенства, которые содержат дроби, смешанные числа и операции сложения/вычитания, действуйте пошагово:
− Преобразуйте смешанные числа в дроби.
− Выполните арифметические действия.
− Приведите дроби к общему знаменателю, если требуется сравнение.
− Сравните результаты.

7. Работа с дробями в виде $ \frac{m}{n} $

Когда дробь дана в виде $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — числитель, а $ n $ — знаменатель:
− Если $ m > n $, то дробь называется неправильной.
− Если $ m < n $, то дробь называется правильной.

Неправильную дробь можно преобразовать в смешанное число:
$$ \frac{m}{n} = k + \frac{r}{n}, $$
где $ k = m \div n $ — целая часть, $ r = m \mod n $ — остаток от деления.

Пример:
$\frac{61}{8} = 7 + \frac{5}{8} = 7\frac{5}{8}$.

8. Числовое представление дробей

Для проверки условий задачи можно преобразовать дроби в десятичные числа, разделив числитель на знаменатель. Это полезно для наглядного сравнения результатов:
$$ \frac{5}{7} \approx 0.714, \quad \frac{5}{14} \approx 0.357. $$

Итог

Используя эти теоретические правила, можно шаг за шагом проверить каждое из высказываний в задаче.