Найди все возможные трехзначные числа, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в записи числа:
а) не повторяются;
б) могут повторяться.

Для решения задачи о нахождении всех возможных трёхзначных чисел, которые можно составить из заданных цифр (1, 2, 3) при различных условиях, необходимо использовать знания по комбинаторике, области математики, изучающей способы подсчёта комбинаций из объектов.

Приступим к разбору теоретической части задачи.

Условие (а): Цифры в записи числа не повторяются

Если цифры в числе не повторяются, это означает, что каждая цифра может быть использована только один раз в записи числа. В этом случае мы имеем дело с перестановками элементов множества.

Теория перестановок

Перестановкой называют любое упорядоченное размещение всех элементов множества. Если множество состоит из $ n $ элементов, то количество всех возможных перестановок равно $ n! $, где $ n! $ («n−факториал») вычисляется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $ n $:
$$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1 $$

В данном случае цифры $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $ составляют множество из $ n = 3 $ элементов. Значит, количество всех возможных перестановок равно:
$$ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $$

Построение чисел

Каждое трёхзначное число формируется выбором первой, второй и третьей цифры:
− На первое место можно поставить любую из трёх цифр ($ 3 $ варианта).
− На второе место можно поставить любую из оставшихся двух цифр ($ 2 $ варианта).
− На третье место остаётся только одна цифра ($ 1 $ вариант).

Общее число комбинаций:
$$ 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $$

Таким образом, при условии, что цифры не повторяются, существует ровно 6 различных чисел, составленных из цифр $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $.

Условие (б): Цифры в записи числа могут повторяться

Если цифры в числе могут повторяться, это означает, что каждое из трёх мест в записи числа можно заполнить любой из трёх цифр $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $.

Теория размещений с повторениями

В данном случае мы составляем упорядоченные наборы из $ k $ позиций, где каждая позиция может быть заполнена любым из $ n $ элементов, причём элементы допускаются к повторению. Общее число таких размещений находится по формуле:
$$ n^k $$
где:
− $ n $ — общее количество элементов множества,
− $ k $ — длина создаваемого набора.

В задаче:
− $ n = 3 $ (цифры $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $),
− $ k = 3 $ (три позиции в числе).

Подставим в формулу:
$$ 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 $$

Построение чисел

Каждое трёхзначное число формируется выбором цифры для каждой из трёх позиций:
− На первое место можно поставить любую из трёх цифр ($ 3 $ варианта).
− На второе место можно поставить любую из трёх цифр ($ 3 $ варианта),
− На третье место можно поставить любую из трёх цифр ($ 3 $ варианта).

Общее число комбинаций:
$$ 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 $$

Таким образом, при условии, что цифры могут повторяться, существует ровно 27 различных чисел, составленных из цифр $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $.

Эти теоретические рассуждения помогут вам последовательно и уверенно решить задачу.