Пусть A − множество натуральных решений неравенства 5 ≤ x < 9, а B − множество натуральных решений неравенства 6 < x ≤ 11. Запиши множества A и B с помощью фигурных скобок, найди множества A ∩ B и A U B.

Для решения задачи требуется рассмотреть понятия, связанные с множествами, их элементами и операциями над множествами. Разберем все теоретические аспекты, которые понадобятся для решения.

1. Натуральные числа.
Натуральные числа — это числа, которые используются для счета (1, 2, 3, 4, 5, …). Они начинаются с единицы и идут бесконечно в сторону увеличения. В рассматриваемой задаче предполагается, что $ x $ принимает только натуральные значения.

2. Понятие множества.
Множество — это совокупность элементов, объединенных каким−либо общим признаком. В записи множества элементы указываются в фигурных скобках, например:
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
означает, что множество $ A $ состоит из элементов 1, 2 и 3.

Элементы в множестве не повторяются, их порядок не важен.

3. Способы задания множества.
Множество можно задать двумя основными способами:
− Перечислением элементов. Например: $ A = \{2, 4, 6, 8\} $.
− Указанием свойства. Например: $ A = \{x \mid x \text{ — четное число, } 1 \leq x \leq 9\} $, где вертикальная черта " | " читается как "такие, что".

В задаче множества заданы с помощью условий на переменную $ x $.

4. Интервалы.
Неравенства, указанные в задаче, задают интервалы:
− $ 5 \leq x < 9 $ означает, что $ x $ лежит в пределах от 5 до 9, включая 5, но не включая 9.
− $ 6 < x \leq 11 $ означает, что $ x $ лежит в пределах от 6 до 11, не включая 6, но включая 11.

Важный момент: так как $ x $ — натуральное число, то нас интересуют только те числа в указанных интервалах, которые принадлежат множеству натуральных чисел.

5. Операции над множествами.
Для работы с множествами потребуется знание следующих операций:

• Пересечение множеств ($ A \cap B $).
  Пересечение двух множеств — это множество, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно обоим множества $ A $ и $ B $. Формально:
  $$ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}. $$

• Объединение множеств ($ A \cup B $).
  Объединение двух множеств — это множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств $ A $ или $ B $. Формально:
  $$ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}. $$

6. Алгоритм для записи и нахождения множеств.

1. Запись множеств $ A $ и $ B $.
   Нужно определить все натуральные числа, которые удовлетворяют условиям неравенств для множеств $ A $ и $ B $.

2. Нахождение пересечения ($ A \cap B $).
   Для этого нужно выписать общие элементы множеств $ A $ и $ B $, те числа, которые принадлежат и $ A $, и $ B $.

3. Нахождение объединения ($ A \cup B $).
   Для этого нужно собрать все элементы из множеств $ A $ и $ B $, исключив повторяющиеся числа.

7. Принципы работы с множествами на практике.

• Чтобы найти пересечение, можно визуализировать множества и отметить общие элементы. Это особенно полезно, если заданные множества невелики.
• Для объединения нужно просто объединить списки элементов, но не забывать, что в множестве элементы не повторяются.

8. Дополнительные замечания.

• Натуральные числа начинаются с 1, поэтому в интервалах, где нижняя граница меньше 1, нужно учитывать только натуральные числа ($ \geq 1 $).
• Если интервалы заданы с использованием неравенств "меньше" или "меньше либо равно", то нужно внимательно работать с границами (включать или исключать их в зависимости от типа неравенства).

Эти теоретические сведения полностью покрывают все аспекты, необходимые для решения задачи.