Начерти прямоугольный треугольник, площадь которого равна 12 $см^3$. Сколько вариантов решения имеет эта задача, если длины сторон треугольника натуральные числа?

Для решения задачи о нахождении количества прямоугольных треугольников с натуральными длинами сторон, у которых площадь равна заданному значению, в данном случае 12 см², необходимо понять несколько ключевых математических понятий.

1. Площадь прямоугольного треугольника: Площадь $ S $ прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов $ a $ и $ b $ как $ S = \frac{1}{2}ab $. В данной задаче площадь равна 12 см², поэтому уравнение становится $ \frac{1}{2}ab = 12 $ или $ ab = 24 $. Таким образом, задача сводится к нахождению всех пар натуральных чисел $ (a, b) $, произведение которых равно 24.

2. Разложение на множители: Число 24 можно разложить на простые множители: $ 24 = 2^3 \times 3^1 $. Используя это разложение, найдём все пары натуральных чисел $ (a, b) $, произведение которых равно 24. Эти пары представляют собой делители числа 24.

3. Поиск пар делителей: Для нахождения всех возможных пар $ (a, b) $, где $ a \leq b $, достаточно найти все делители числа 24 и сгруппировать их в пары:

   • $ (1, 24) $
   • $ (2, 12) $
   • $ (3, 8) $
   • $ (4, 6) $

Заметим, что порядок пар не важен, поскольку $ ab = ba $.

1. Прямоугольный треугольник: Прямоугольный треугольник имеет два катета и гипотенузу. Для каждой пары катетов $ (a, b) $, гипотенузу $ c $ можно найти, используя теорему Пифагора: $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $. Необходимо проверить, является ли $ c $ также натуральным числом для каждой из пар.

2. Проверка натуральности гипотенузы: Нужно проверить, для каких пар $ (a, b) $ выражение $ \sqrt{a^2 + b^2} $ является натуральным числом. Это условие гарантирует, что треугольник с такими сторонами существует в пространстве целых чисел.

3. Суммирование всех подходящих пар: Подсчитайте пары $ (a, b, c) $, где $ c $ является натуральным числом. Это и будет количество решений данной задачи.

Таким образом, для нахождения количества вариантов решения задачи, требуется внимательно исследовать все шаги, начиная от разложения числа 24 на множители и заканчивая проверкой натуральности гипотенузы для всех пар катетов.