Брату $12\frac{1}{12}$ года, а сестре $9\frac{5}{12}$ лет. Сколько лет брату, когда сестре было $7\frac{11}{12}$ лет?

Для того чтобы решить задачу, давайте детально разберём теоретические основы, которые нам понадобятся.

1. Работа с дробями

В задаче использованы смешанные числа, такие как $ 12\frac{1}{12} $, $ 9\frac{5}{12} $, и $ 7\frac{11}{12} $. Смешанные числа состоят из целой части и дробной части. Для удобства вычислений часто преобразуют смешанные числа в неправильные дроби.

Пример для преобразования:
Смешанное число $ 12\frac{1}{12} $ можно записать как:
$$ 12\frac{1}{12} = 12 + \frac{1}{12} = \frac{12 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{145}{12}. $$

Аналогично можно преобразовывать другие смешанные числа.

2. Разница в возрасте

Когда в задаче говорится о возрасте двух человек, разница в их возрасте всегда остаётся постоянной. То есть разность между возрастом брата и сестры не изменяется с течением времени.

В данном случае:
− Возраст брата: $ 12\frac{1}{12} $.
− Возраст сестры: $ 9\frac{5}{12} $.

Разница в возрасте равна:
$$ \text{Разница} = \text{Возраст брата} - \text{Возраст сестры}. $$

Эту разницу можно вычислить, преобразовав смешанные числа в дроби или работая со смешанными числами прямо.

3. Обратное вычисление возраста

Когда задаётся возраст одного из людей (например, сестре $ 7\frac{11}{12} $ лет), возраст другого человека можно найти, добавив или вычтя разницу в возрасте. Если разница в возрасте уже известна, мы можем использовать следующее правило:

$$ \text{Возраст брата} = \text{Возраст сестры} + \text{Разница в возрасте}. $$

4. Приведение дробей к общему знаменателю

При вычитании или сложении дробей важно, чтобы они имели одинаковый знаменатель. Если знаменатели различны, их нужно привести к общему знаменателю.

Пример:
Предположим, нужно вычесть:
$$ \frac{5}{12} - \frac{11}{12}. $$
Знаменатели одинаковы ($ 12 $), поэтому просто вычитаем числители:
$$ \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}. $$

Если знаменатели различны, например:
$$ \frac{3}{4} - \frac{2}{3}, $$
то общий знаменатель будет наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей ($ 4 $ и $ 3 $). НОК для $ 4 $ и $ 3 $ равен $ 12 $. Далее дроби приводятся к знаменателю $ 12 $ и выполняются действия.

5. Проверка результата

После выполнения вычислений важно проверить, что найденный возраст брата согласуется с изначальной разницей в возрасте. Это помогает убедиться, что расчёты выполнены корректно.

Эти теоретические шаги помогут вам разобраться с задачей и найти правильное решение.