Реши уравнения:
а) $(x + 8\frac{17}{36}) + 7\frac{31}{36} = 25\frac{1}{36}$;
б) $12\frac{13}{45} - (y - 5\frac{17}{45}) = 3\frac{23}{45}$.

Для решения заданных уравнений важно понимать основные принципы работы с дробями и переменными. Давайте разберем теоретическую часть, которая необходима для решения таких задач.

Уравнения с дробями

Уравнения с дробями — это математические выражения, в которых присутствуют как переменные, так и дробные числа. Основная цель решения уравнения — найти значение переменной, которое сделает уравнение истинным.

Типы дробей

1. Правильные дроби: Числитель меньше знаменателя (например, $ \frac{3}{5} $).
2. Неправильные дроби: Числитель больше знаменателя (например, $ \frac{7}{4} $).
3. Смешанные числа: Комбинация целого числа и дроби (например, $ 2\frac{1}{3} $).

Смешанные числа можно преобразовать в неправильные дроби, чтобы было удобнее выполнять вычисления. Формула для преобразования:
$$ a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}, $$
где $ a $ — целая часть, $ b $ — числитель, $ c $ — знаменатель.

Общий знаменатель

Для выполнения операций сложения или вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей.

Пример: если знаменатели дробей $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{4} $, то НОК $ 3 $ и $ 4 $ равен $ 12 $.

Основные действия с дробями

1. Сложение дробей: Привести дроби к общему знаменателю, затем сложить их числители и сохранить знаменатель.
   $$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}. $$

2. Вычитание дробей: Привести дроби к общему знаменателю, затем вычесть числители и сохранить знаменатель.
   $$ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}. $$

3. Умножение дробей: Перемножить числители и знаменатели.
   $$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}. $$

4. Деление дробей: Умножить первую дробь на обратную второй дроби (перевернуть числитель и знаменатель второй дроби).
   $$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}. $$

Решение уравнений

1. Определение неизвестного: В уравнении присутствует переменная, например, $ x $ или $ y $. Нужно преобразовать уравнение так, чтобы переменная оказалась отдельно на одной стороне.

2. Применение обратных операций: Чтобы избавиться от сложения, вычитания, умножения или деления в уравнении, применяют обратные операции:

   • Для сложения — вычитание.
   • Для вычитания — сложение.
   • Для умножения — деление.
   • Для деления — умножение.

3. Приведение смешанных чисел к неправильным дробям: Это важно, чтобы выполнять операции с дробями, имеющими одинаковый формат.

Общий алгоритм решения уравнения:

1. Преобразовать смешанные числа в неправильные дроби.
2. Привести все дроби к общему знаменателю, если это необходимо.
3. Выполнить операции, чтобы выразить переменную.
4. Если переменная находится в числителе дроби, то выразить её путем умножения на знаменатель.

Работа с уравнениями

Для уравнения вида $ x + a = b $:
− Выразите $ x $:
$$ x = b - a. $$

Для уравнения вида $ a - y = b $:
− Выразите $ y $:
$$ y = a - b. $$

Для уравнения вида $ a - (y - c) = b $:
− Сначала раскройте скобки:
$$ a - y + c = b. $$
− Затем упростите:
$$ y = a + c - b. $$

Проверка решения

После нахождения значения переменной, подставьте это значение обратно в исходное уравнение. Если равенство выполняется, то решение верно.

Применение теоретических знаний

Теперь можно использовать эти правила для решения задачи. Обратите внимание на преобразования смешанных чисел, приведение к общему знаменателю и использование обратных операций для нахождения переменной.