Старинная задача.
Одного мужика спросили, сколько у него денег. Он ответил: "Мой брат втрое богаче меня, отце втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех нас ровно 1000 р. Вот и узнайте, сколько у меня денег".

Для решения этой задачи нужно использовать методы работы с числами, умение находить доли и соотношения, а также применять базовые знания арифметики. Давайте подробно разберем ее теоретическую часть.

1. Анализ задачи:

В задаче даны следующие условия:
− У всех членов семьи в общей сложности 1000 рублей.
− У каждого человека количество денег связано с деньгами другого человека через определенный коэффициент (в данном случае — втрое больше или втрое меньше).

Задача состоит в том, чтобы определить, сколько денег у одного человека (мужика), зная соотношения между деньгами всех членов семьи.

2. Принципы работы с соотношениями и коэффициентами:

Когда одно количество связано с другим через коэффициент (например, "втрое больше" или "втрое меньше"), мы работаем с долями или частями числа. В данном случае связь между деньгами строится следующим образом:
− Если у одного человека сумма втрое больше, то это значит, что его количество денег равно $3 \times$ сумма другого человека.
− Если у одного человека сумма втрое меньше, то это значит, что его количество денег равно $ \frac{1}{3} $ суммы другого человека.

Таким образом, соотношения между деньгами выглядят как пропорции:
− Деньги брата = $3 \times$ деньги мужика.
− Деньги отца = $3 \times$ деньги брата.
− Деньги деда = $3 \times$ деньги отца.

3. Математическое моделирование:

Для решения задачи необходимо ввести переменную для неизвестного значения. Пусть $x$ — количество денег у мужика. Тогда, основываясь на соотношениях, можно выразить деньги каждого члена семьи через $x$:
− У мужика: $x$.
− У брата: $3x$.
− У отца: $3 \times 3x = 9x$.
− У деда: $3 \times 9x = 27x$.

Общая сумма денег у всех членов семьи равна 1000 рублей. Следовательно, можно составить уравнение:
$$ x + 3x + 9x + 27x = 1000. $$

4. Решение уравнения:

Уравнение представляет собой сумму всех долей, выраженных через $x$. Для упрощения, можно сложить коэффициенты перед $x$:
$$ x + 3x + 9x + 27x = (1 + 3 + 9 + 27)x = 40x. $$

Таким образом, уравнение принимает вид:
$$ 40x = 1000. $$

5. Нахождение значения переменной:

Чтобы найти значение переменной $x$, нужно разделить обе стороны уравнения на 40:
$$ x = \frac{1000}{40}. $$

После нахождения $x$, мы сможем легко вычислить количество денег у каждого члена семьи, умножив $x$ на соответствующий коэффициент.

6. Проверка результата:

После вычисления значения $x$ полезно проверить, что сумма денег у всех членов семьи действительно равна 1000 рублей. Это можно сделать, сложив все найденные значения:
$$ x + 3x + 9x + 27x = 1000. $$

Если равенство выполняется, то задача решена правильно.

7. Итоговый вывод:

Количество денег у мужика (значение переменной $x$) можно найти, решая уравнение, построенное на основе соотношений. После этого с помощью коэффициентов можно узнать деньги каждого члена семьи.