Ледокол 3 дня пробивал себе путь во льдах. В первый день он проплыл $\frac{2}{5}$ всего пути, во второй день − $\frac{5}{8}$ оставшегося пути, а в третий день − оставшиеся 90 км. Чему равен путь, который проплыл ледокол за 3 дня пути? Сколько километров он проплыл в первый и во второй день?

Для решения задачи потребуется использовать дроби, действия с дробями, а также обратные арифметические операции. Разберем теоретическую основу для выполнения таких действий.

1. Понятие дроби:

   • Дробь представляет собой часть целого. Она записывается в виде $ \frac{a}{b} $, где $ a $ — числитель, показывающий количество частей, а $ b $ — знаменатель, показывающий, на сколько частей целое разделено.
   • Пример: $ \frac{2}{5} $ означает, что целое разделено на 5 равных частей, из которых взято 2 части.

2. Действия с дробями:

   • Чтобы сложить дроби, их знаменатели должны быть одинаковыми. Если знаменатели разные, их приводят к общему знаменателю, а затем складывают числители.
   • Чтобы умножить дробь на число или другую дробь, умножают числители друг на друга и знаменатели друг на друга.

3. Понятие оставшейся части:

   • Если известно, что часть целого составляет $ \frac{a}{b} $, то оставшаяся часть равна $ 1 - \frac{a}{b} $. Это важно для вычислений, когда нужно определить, сколько осталось после выполнения определенной части работы или пути.

4. Пропорции и обратные вычисления:

   • Иногда в задаче дано, что определённая часть целого равна некоторому числу, например: оставшиеся 90 км — это определённая часть пути. В таком случае можно составить пропорцию для нахождения всего пути.
   • Пропорция выглядит так: $$ \text{Часть пути} : \text{Всего пути} = \text{Доля части} : 1 $$
   • Далее, пользуясь этими отношениями, находят значение целого через известную часть.

5. Порядок решения задачи:

   • Сначала определяем, какой путь остался после первого дня, используя $ 1 - \frac{a}{b} $.
   • Затем вычисляем, сколько пути было завершено во второй день, используя дробь, которая относится к оставшемуся пути.
   • В третьем дне указано конкретное расстояние (90 км), которое соответствует оставшемуся пути. Используя это, можно найти общий путь и путь за каждый из дней.

6. Основные формулы для вычислений:

   • Для нахождения оставшейся части: $$ \text{Оставшееся} = \text{Всего пути} \times \left(1 - \frac{\text{Доля пройденной части}}{\text{Всего}}\right) $$
   • Для нахождения целого по известной части: $$ \text{Всего пути} = \frac{\text{Часть пути}}{\text{Доля этой части}} $$

Эта теоретическая основа позволяет шаг за шагом решать задачу, используя дроби, оставшиеся части и пропорции.