а) Из двух городов, удаленных друг от друга на 1680 км, вышли одновременно навстречу друг другу 2 поезда. Первый поезд проходит все это расстояние за 21 ч, а второй поезд − за 28 ч. Через сколько часов поезда встретятся?
б) Реши предыдущую задачу, если расстояние между городами равно 420 км, 672 км, 1260 км. Что ты замечаешь?
1) 1680 : 21 = 80 (км/ч) − скорость первого поезда;
$\snippet{name: long_division, x: 1680, y: 21}$
2) 1680 : 28 = 60 (км/ч) − скорость второго поезда;
$\snippet{name: long_division, x: 1680, y: 28}$
3) 80 + 60 = 140 (км) − скорость сближения;
4) 1680 : 140 = 12 (ч) − будут ехать поезда до встречи.
$\snippet{name: long_division, x: 1680, y: 140}$
Ответ: через 12 ч
Расстояние между городами 420 км:
420 : ((420 : 21) + (420 : 28)) = 420 : (20 + 15) = 420 : 35 = 12 (ч) − будут ехать поезда до встречи.
$\snippet{name: long_division, x: 420, y: 21}$
$\snippet{name: long_division, x: 420, y: 28}$
$\snippet{name: long_division, x: 420, y: 35}$
Ответ: 12 ч
Расстояние между городами 672 км:
672 : ((672 : 21) + (672 : 28)) = 672 : (32 + 24) = 672 : 56 = 12 (ч) − будут ехать поезда до встречи.
$\snippet{name: long_division, x: 672, y: 21}$
$\snippet{name: long_division, x: 672, y: 28}$
$\snippet{name: long_division, x: 672, y: 56}$
Ответ: 12 ч
Расстояние между городами 1260 км:
1260 : ((1260 : 21) + (1260 : 28)) = 1260 : (60 + 45) = 1260 : 105 = 12 (ч) − будут ехать поезда до встречи.
$\snippet{name: long_division, x: 1260, y: 21}$
$\snippet{name: long_division, x: 1260, y: 28}$
$\snippet{name: long_division, x: 1260, y: 105}$
Ответ: 12 ч
Можно заметить, что скорость поездов меняется, но время встречи остается неизменным.
Для решения этой задачи необходимо использовать понятия скорости, времени и расстояния, а также формулы, связывающие эти величины. Вот подробная теоретическая часть.
Формула скорости:
$$
v = \frac{s}{t}
$$
где $ v $ — скорость (км/ч), $ s $ — расстояние (км), $ t $ — время (ч).
Формула времени:
$$
t = \frac{s}{v}
$$
где $ t $ — время (ч), $ s $ — расстояние (км), $ v $ — скорость (км/ч).
Формула расстояния:
$$
s = v \cdot t
$$
где $ s $ — расстояние (км), $ v $ — скорость (км/ч), $ t $ — время (ч).
Чтобы найти скорости каждого поезда, мы используем формулу $ v = \frac{s}{t} $.
1. Для первого поезда:
$$
v_1 = \frac{s_{\text{общ}}}{t_1}
$$
2. Для второго поезда:
$$
v_2 = \frac{s_{\text{общ}}}{t_2}
$$
Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорости складываются, так как они уменьшают расстояние между собой одновременно. Если $ t_{\text{встр}} $ — время до встречи, то расстояние каждого поезда можно выразить через его скорость и время:
1. Расстояние, пройденное первым поездом:
$$
s_1 = v_1 \cdot t_{\text{встр}}
$$
2. Расстояние, пройденное вторым поездом:
$$
s_2 = v_2 \cdot t_{\text{встр}}
$$
Так как оба поезда вместе преодолевают всё расстояние между городами ($ s_{\text{общ}} $), то:
$$
s_1 + s_2 = s_{\text{общ}}
$$
Подставляя выражения для $ s_1 $ и $ s_2 $:
$$
v_1 \cdot t_{\text{встр}} + v_2 \cdot t_{\text{встр}} = s_{\text{общ}}
$$
Выносим $ t_{\text{встр}} $ за скобки:
$$
t_{\text{встр}} \cdot (v_1 + v_2) = s_{\text{общ}}
$$
И находим $ t_{\text{встр}} $:
$$
t_{\text{встр}} = \frac{s_{\text{общ}}}{v_1 + v_2}
$$
Если расстояние между городами изменяется ($ s_{\text{общ}} = 420 \, \text{км}, 672 \, \text{км}, 1260 \, \text{км} $), то формулы остаются такими же, но меняется числовое значение $ s_{\text{общ}} $.
Пожауйста, оцените решение
