Продолжи ряд на 4 числа, сохраняя закономерность:
а) 5, 15, 125, 1235, ...;
б) 1, 3, 9, 27, ... .

Для решения задачи на продолжение числового ряда важно внимательно анализировать закономерность между числами, чтобы понять принцип их построения. Рассмотрим две части задачи:

Часть а) 5, 15, 125, 1235, ...

1. Анализ ряда
   Чтобы выявить закономерность, нужно внимательно рассмотреть каждое число и попытаться найти связь между ними. Закономерности могут быть различными: арифметическими (разности между соседними числами), геометрическими (отношения соседних чисел), или основываться на их форме, структуре, или порядке цифр.

2. Проверка операций

   • Сравните числа по возрастанию, чтобы определить, как они увеличиваются: линейно, квадратично, или экспоненциально.
   • Проверьте закономерности в добавлении цифр или изменении структуры числа (например, добавление или перестановка цифр внутри числа).

3. Проверка разностей
   Найдите разности между соседними числами:

   • $ 15 - 5 = 10 $,
   • $ 125 - 15 = 110 $,
   • $ 1235 - 125 = 1110 $. Если разности сами образуют закономерный ряд, это может быть ключом к продолжению исходного ряда.

4. Проверка отношений
   Найдите отношения между соседними числами:

   • $ \frac{15}{5} = 3 $,
   • $ \frac{125}{15} = \approx 8.33 $,
   • $ \frac{1235}{125} = \approx 9.88 $. Если отношения образуют последовательность, это также может быть основой для продолжения ряда.

5. Проверка структуры числа
   Внимательно проанализируйте форму записи каждого числа. Например, в числе 1235 есть цифры из предыдущего числа (125), к которым добавляется новая цифра. Возможно, продолжение ряда связано с добавлением определенного числа или цифры.

Часть б) 1, 3, 9, 27, ...

1. Анализ ряда
   В данном случае числа увеличиваются быстро, что может указывать на геометрическую прогрессию или умножение на фиксированное число.

2. Проверка отношений
   Найдите отношения между соседними числами:

   • $ \frac{3}{1} = 3 $,
   • $ \frac{9}{3} = 3 $,
   • $ \frac{27}{9} = 3 $. Если все отношения одинаковы, это указывает на геометрическую прогрессию.

3. Общее правило геометрической прогрессии
   Если числа образуют геометрическую прогрессию, то каждое последующее число получается умножением предыдущего на постоянный коэффициент (в данном случае коэффициент равен 3). Формула для нахождения $ n $−го члена геометрической прогрессии:
   $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $, где:

   • $ a_1 $ — первый член прогрессии,
   • $ r $ — коэффициент прогрессии,
   • $ n $ — номер члена.

4. Проверка структуры числа
   Также можно анализировать числа на предмет их формы записи или других особенностей. Здесь числа можно записать как степени числа 3:

   • $ 1 = 3^0 $,
   • $ 3 = 3^1 $,
   • $ 9 = 3^2 $,
   • $ 27 = 3^3 $.

Таким образом, закономерность явно указывает на возведение числа 3 в возрастающую степень.

Заключение: Чтобы продолжить числовой ряд, необходимо определить закономерность (арифметическую, геометрическую или структурную) и применить её для вычисления следующих членов ряда.