Рост Игоря равен 120 см, что составляет $\frac{5}{6}$ роста Володи. А рост Леночки составляет $\frac{3}{4}$ роста Володи. Какой рост у Володи и Леночки?

Чтобы решить задачу, важно понимать концепции работы с дробями, отношений и пропорций, а также навыки обратных вычислений. Рассмотрим теоретическую базу, которая поможет решить задачу.

Работа с дробями

1. Дробь представляет собой часть от целого. Она записывается как отношение двух чисел: $ \frac{a}{b} $, где:

   • $ a $ — числитель (сколько частей взято),
   • $ b $ — знаменатель (на сколько частей разделено целое).

2. Чтобы найти целое значение ($ x $) по его части ($ c $) и известной дроби ($ \frac{a}{b} $), используется формула:
   $$ x = \frac{c \cdot b}{a} $$
   Здесь мы умножаем известную часть на знаменатель дроби и делим на числитель.

Пропорции

1. Пропорция — это равенство двух отношений, например:
   $$ \frac{120}{\frac{5}{6}} = \frac{x}{1} $$
   Здесь 120 см — это часть роста Володи, который выражен дробью $ \frac{5}{6} $. Мы используем пропорции, чтобы вычислить рост Володи.

2. Пропорции также применяются для нахождения неизвестного, если одна из частей пропорции является дробью.

Взаимосвязь увеличения и уменьшения

1. Если даны части некоторого целого, их можно выразить через общую величину. Например, рост Володи обозначается как $ x $. Тогда:

   • Рост Игоря равен $ \frac{5}{6}x $,
   • Рост Леночки равен $ \frac{3}{4}x $.

2. Чтобы найти значение $ x $ (общую величину, которая в данном случае является ростом Володи), необходимо работать с уравнением, где известная часть и дробь ($ \frac{5}{6}x $) равна известному числу (росту Игоря, 120 см).

Порядок действий для нахождения роста Володи:

1. Представить рост Володи как $ x $.
2. Записать зависимость роста Игоря от роста Володи: $ \frac{5}{6}x = 120 $.
3. Используя формулу для нахождения целого значения, выразить $ x $: $$ x = \frac{120 \cdot 6}{5} $$

Порядок действий для нахождения роста Леночки:

1. Использовать найденное значение роста Володи ($ x $).
2. Записать зависимость роста Леночки от роста Володи: $ \frac{3}{4}x $.
3. Подставить значение $ x $ и выполнить вычисления.

Проверка:

1. После нахождения значений $ x $ (рост Володи) и $ \frac{3}{4}x $ (рост Леночки), важно проверить, соответствует ли результат условиям задачи.
2. Для проверки можно убедиться, что:
   • Дробь $ \frac{5}{6} $ от роста Володи ($ x $) действительно равна 120 см,
   • Дробь $ \frac{3}{4} $ от роста Володи ($ x $) соответствует росту Леночки.

Этот теоретический подход позволяет решать задачу методично и корректно.