Найдите все решения неравенства:
а) 7 * c < 9;
б) 12 : d > 3;
в) x * 7 < 21;
г) y * 5 < 1;
д) b + b < 4;
е) 3 − t > 2.

Для решения неравенств в математике необходимо понимать основные принципы работы с выражениями, включающими неизвестные величины. В данном случае рассмотрим теоретическую часть, которая поможет разобраться с каждым из представленных типов неравенств.

Что такое неравенство?

Неравенство — это математическое выражение, показывающее, что одно значение больше, меньше, больше или равно, либо меньше или равно другому значению. Основные знаки неравенств:
− < — меньше;
− > — больше;
− ≤ — меньше или равно;
− ≥ — больше или равно.

Основные принципы решения неравенств:

1. Сохранение смысла неравенства: При выполнении операций с обеими сторонами неравенства важно сохранять его смысл. Например:

   • Если обе стороны умножить или разделить на положительное число, знак неравенства не меняется.
   • Если обе стороны умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (например, < превращается в >).

2. Изоляция переменной: Для решения неравенства нужно выразить неизвестную переменную, например c, d, x, и другие, с одной стороны неравенства.

3. Работа с дробями и делением: Если неравенство содержит деление, важно помнить, что неизвестная переменная не может быть равна нулю, если она находится в знаменателе.

Теоретический подход к различным типам неравенств:

1. Умножение переменной на число:

Пример: $ 7 \cdot c < 9 $

В данном случае умножение переменной $ c $ на число 7 приводит к выражению, которое должно быть меньше 9. Для решения:
− Разделите обе стороны неравенства на 7, чтобы выразить $ c $.
− Если $ c $ умножается на положительное число, знак неравенства сохраняется.
− Результатом будет $ c < \frac{9}{7} $.

2. Деление числа на переменную:

Пример: $ \frac{12}{d} > 3 $

Когда число делится на переменную, нужно учитывать, что:
− Переменная $ d $ не может быть равна нулю (так как деление на ноль невозможно).
− Решаем, выражая $ d $. Для этого умножаем обе стороны на $ d $ (при условии, что $ d > 0 $.
− Если $ d < 0 $, знак меняется, и мы рассматриваем отдельно эту ситуацию.

3. Множитель меньше заданного числа:

Пример: $ x \cdot 7 < 21 $

Здесь $ x $ умножается на 7, чтобы результат был меньше 21. Для решения:
− Разделите обе стороны на 7.
− Если множитель $ 7 $ положительный, знак неравенства не изменится.
− Результатом будет $ x < \frac{21}{7} $.

4. Множитель меньше очень маленького числа:

Пример: $ y \cdot 5 < 1 $

В этом случае переменная $ y $ умножается на 5, чтобы результат был меньше 1. Для решения:
− Разделите обе стороны неравенства на 5.
− Убедитесь, что знак неравенства не изменяется, так как множитель положительный.
− Результатом будет $ y < \frac{1}{5} $.

5. Сложение одинаковых переменных:

Пример: $ b + b < 4 $

Когда два одинаковых неизвестных складываются, это эквивалентно $ 2b < 4 $. Решение:
− Разделите обе стороны на 2.
− Если множитель $ 2 $ положителен, знак сохраняется.
− Результатом будет $ b < \frac{4}{2} $.

6. Вычитание переменной из числа:

Пример: $ 3 - t > 2 $

В данном случае переменная $ t $ вычитается из 3, чтобы результат был больше 2. Для решения:
− Перенесите $ t $ в правую часть и $ 2 $ в левую.
− Убедитесь, что знак неравенства сохраняется.
− Решение будет зависеть от преобразования вида $ t < \text{число} $.

Проверка решения:

После нахождения решения важно проверить его, подставив полученные значения переменной в исходное неравенство. Если оно выполняется, решение верно.

Итог:

Каждое неравенство требует определённых действий: сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон. Главное — помнить о знаках неравенства и корректно выполнять операции.