а) Катя купила 18 конфет. $\frac{4}{9}$ конфет она съела, а остальным конфетами угостила подруг. Сколько конфет она отдала подругам?

б) В классе занимаются плаванием 6 человек, что составляет $\frac{2}{7}$ класса. Сколько всего учеников в этом классе?

в) Васе надо было забить 8 гвоздей. Из них 5 гвоздей он забил правильно, а остальные у него погнулись. Какую часть гвоздей Вася испортил?

Для решения задач требуется понимание работы с дробями, пропорциями и частями от целого. Рассмотрим теоретические основы для решения каждой задачи.

а) Работа с дробями и частями от числа

Когда нам дана дробь, например, $\frac{4}{9}$, это означает, что целое (в данном случае 18 конфет) делится на 9 равных частей, и из них берутся 4 части.

1. Как найти долю от числа?
   Чтобы найти, сколько конфет составляют $\frac{4}{9}$, нужно:

   • Разделить общее количество конфет на знаменатель дроби ($18 : 9$).
   • Умножить результат на числитель дроби ($2 \times 4$).

2. Как найти оставшиеся конфеты?
   Если известна часть, которая была съедена, то остальные конфеты будут равны разности между общим количеством конфет и количеством съеденных.

3. Формула:

   • Конфеты, которые съела: $ \text{s} = \frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}} \times \text{общее количество} $.
   • Конфеты для подруг: $ \text{остальные} = \text{общее количество} - \text{съеденные} $.

б) Работа с пропорциями и нахождение целого по его части

В этой задаче известно, что 6 человек составляют $\frac{2}{7}$ класса, и нужно найти общее количество учеников.

1. Как найти целое число, если известна его часть?
   Если часть класса равна $6$, то эта часть составляет $\frac{2}{7}$. Чтобы найти целое, нужно выполнить следующие шаги:

   • Разделить данное количество (6) на числитель дроби ($6 : 2$).
   • Полученный результат умножить на знаменатель дроби ($ \text{целое} = (\text{данное число} : \text{числитель}) \times \text{знаменатель} $).

2. Почему это работает?

   • Дробь $\frac{2}{7}$ означает, что целое делится на 7 частей, и из этих частей берутся 2. Таким образом, если известно значение этих двух частей, то можно восстановить всё целое.

в) Работа с отношениями и частями целого

В задаче Вася забил 8 гвоздей, из которых 5 забиты правильно, а остальные — погнуты. Нужно найти часть гвоздей, которые были испорчены.

1. Как найти часть, которая испорчена?

   • Сначала вычисляем, сколько гвоздей погнуто: $ \text{погнутые} = \text{общее количество} - \text{правильно забитые} $.
   • Затем определяем долю погнутых гвоздей от общего числа: $ \text{доля} = \frac{\text{погнутые}}{\text{общее количество}} $.

2. Объяснение:
   Дробь показывает отношение части числа к целому. Если общее количество равно 8, а погнутые составляют часть от этого числа, то дробь будет $ \frac{\text{погнутые}}{\text{общее количество}} $.

Итоговые формулы для задач:

1. а) Конфеты для подруг: $ \text{остальные} = \text{общее количество} - \left( \frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}} \times \text{общее количество} \right) $.

2. б) Общее количество учеников: $ \text{целое} = (\text{данное количество} : \text{числитель}) \times \text{знаменатель} $.

3. в) Доля испорченных гвоздей: $ \text{доля} = \frac{\text{погнутые}}{\text{общее количество}} $, где $ \text{погнутые} = \text{общее количество} - \text{правильно забитые} $.