Реши уравнения:
1) $(x + 4\frac{9}{11}) - 5\frac{6}{11} = 1\frac{8}{11}$;
2) $13\frac{2}{9} - (7\frac{5}{9} + y) = 3\frac{5}{9}$.

Для того чтобы решить уравнения, рассмотрим теоретическую часть, связанную с работой с дробями и уравнениями. Уравнения включают операции сложения, вычитания и работу с смешанными числами. Разберем по шагам, как подходить к решению таких задач.

Смешанные числа

Смешанное число состоит из целой части и правильной дроби. Например, $4\frac{9}{11}$ — это смешанное число, где $4$ — целая часть, а $\frac{9}{11}$ — дробная часть.

Чтобы работать с смешанными числами в уравнениях, иногда удобно преобразовать их в неправильные дроби. Неправильная дробь записывается в виде одной дроби, где числитель больше или равен знаменателю. Например:
$$ 4\frac{9}{11} = \frac{4 \cdot 11 + 9}{11} = \frac{44 + 9}{11} = \frac{53}{11}. $$
Это преобразование помогает упростить операции сложения и вычитания.

Действия с дробями

Сложение дробей

Чтобы сложить две дроби, нужно убедиться, что их знаменатели одинаковы. Если знаменатели одинаковы, складываются только числители, а знаменатель остается неизменным. Например:
$$ \frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}. $$
Если знаменатели различны, дроби приводят к общему знаменателю. Например:
$$ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}. $$

Вычитание дробей

Принципы вычитания дробей аналогичны сложению. Если знаменатели одинаковы, числители вычитаются друг из друга, а знаменатель остается неизменным. Например:
$$ \frac{7}{11} - \frac{3}{11} = \frac{7 - 3}{11} = \frac{4}{11}. $$
Если знаменатели различны, дроби приводят к общему знаменателю, как в случае сложения.

Работа с смешанными числами

При сложении или вычитании смешанных чисел можно работать отдельно с целыми частями и дробными частями. Например:
$$ 3\frac{2}{5} + 2\frac{3}{5} = (3 + 2) + (\frac{2}{5} + \frac{3}{5}) = 5 + \frac{5}{5} = 6. $$
Если при сложении или вычитании дробных частей получаются неправильные дроби, их преобразуют в смешанные числа. Например:
$$ 2\frac{4}{7} + 3\frac{5}{7} = (2 + 3) + (\frac{4}{7} + \frac{5}{7}) = 5 + \frac{9}{7} = 5 + 1\frac{2}{7} = 6\frac{2}{7}. $$

Решение уравнений

Что такое уравнение?

Уравнение — это математическое выражение, содержащее неизвестное (переменную), которое нужно найти. Например, в уравнении $x + 5 = 8$, переменная $x$ обозначает число, которое удовлетворяет равенство.

Основные шаги решения уравнений

1. Изолирование переменной: Чтобы найти значение переменной, нужно оставить ее одну на одной стороне уравнения. Для этого применяют обратные операции:

   • Если к переменной добавлено число, вычитаем это число.
   • Если от переменной вычтено число, прибавляем это число.
   • Если переменная умножена на число, делим на это число.
   • Если переменная делится на число, умножаем на это число.

2. Проверка решения: После нахождения значения переменной подставляют его в исходное уравнение, чтобы убедиться, что равенство выполняется.

Работа с дробями в уравнениях

При решении уравнений с дробями важно правильно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления. Например:
− Если уравнение включает сложение, вычитание или работу с дробями, приводите дроби к общему знаменателю.
− При вычитании смешанных чисел иногда нужно выполнять переход через десяток. Например:
$$ 5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = (5 - 2) + (\frac{1}{4} - \frac{3}{4}) = 3 - \frac{2}{4} = 3 - \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}. $$

Пример применения теории к данным уравнениям

Уравнение 1

В уравнении $(x + 4\frac{9}{11}) - 5\frac{6}{11} = 1\frac{8}{11}$, для нахождения $x$:
1. Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби.
2. Выполните операции сложения и вычитания дробей.
3. Изолируйте $x$ на одной стороне уравнения.

Уравнение 2

В уравнении $13\frac{2}{9} - (7\frac{5}{9} + y) = 3\frac{5}{9}$, для нахождения $y$:
1. Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби.
2. Раскройте скобки, выполняя вычитание.
3. Изолируйте $y$ на одной стороне уравнения.