Найди значение выражений:
а) $(6\frac{1}{15} + 1\frac{8}{15}) - (8 - 4\frac{2}{15})$;
б) $5\frac{2}{9} - (3\frac{1}{9} - 2\frac{4}{9}) + \frac{5}{9}$.

Для того чтобы решить задачу, важно понимать основные арифметические действия с дробями и смешанными числами. Вот подробное объяснение, которое поможет вам справиться с расчетами:

1. Смешанные числа

Смешанное число состоит из целой части и дробной части, например, $6\frac{1}{15}$.
Это число можно разложить так:
$$6\frac{1}{15} = 6 + \frac{1}{15}$$
При выполнении арифметических действий важно правильно обращаться как с целыми числами, так и с дробными.

2. Обыкновенные дроби

Дробь вида $\frac{a}{b}$ называется обыкновенной.
– $a$ — числитель дроби, показывает количество частей.
– $b$ — знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей делится целое.

Чтобы складывать, вычитать, умножать или делить дроби, нужно учитывать их знаменатели. Если знаменатели одинаковые, то действия выполняются напрямую с числителями:
Сложение:
$\frac{1}{15} + \frac{8}{15} = \frac{1+8}{15} = \frac{9}{15}$.
Вычитание:
$\frac{8}{15} - \frac{2}{15} = \frac{8-2}{15} = \frac{6}{15}$.

Если знаменатели разные, дроби приводят к общему знаменателю.

3. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы работать с дробями с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
Например:
Для дробей $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{15}$:
НОК для $9$ и $15$ равен $45$.
Приведем дроби к общему знаменателю $45$:
$$ \frac{2}{9} = \frac{10}{45}, \quad \frac{5}{15} = \frac{15}{45}. $$

После приведения дробей к общему знаменателю можно выполнять сложение или вычитание числителей.

4. Сложение и вычитание смешанных чисел

Сложение или вычитание смешанных чисел выполняется в два этапа:
1. Сначала складывают (или вычитают) целые части.
2. Затем складывают (или вычитают) дробные части.

Пример:
$$ 6\frac{1}{15} + 1\frac{8}{15} = (6+1) + \left(\frac{1}{15} + \frac{8}{15}\right) = 7 + \frac{9}{15}. $$
Обратите внимание, что дробную часть можно упростить:
$\frac{9}{15}$ сокращается, если числитель и знаменатель имеют общий делитель. В данном случае общий делитель $3$:
$$ \frac{9}{15} = \frac{3}{5}. $$

5. Порядок действий в выражениях

В математике важен порядок выполнения операций:
1. Сначала вычисления внутри скобок.
2. Затем сложение и вычитание.

Пример:
В выражении $5\frac{2}{9} - (3\frac{1}{9} - 2\frac{4}{9}) + \frac{5}{9}$:
– Сначала выполняется операция в скобках $(3\frac{1}{9} - 2\frac{4}{9})$.
– Затем результат подставляется в основное выражение.

6. Работа с отрицательными результатами

Если при вычитании дробей получаются отрицательные числа, нужно помнить правила работы с отрицательными числами. Например:
$$ \frac{2}{9} - \frac{5}{9} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}. $$

7. Преобразование результата

Если в результате сложения или вычитания дробная часть превышает $1$, то дробь можно преобразовать в смешанное число.
Например:
$$ 7 + \frac{9}{9} = 7 + 1 = 8. $$

Применяя эти шаги и правила, можно аккуратно и правильно решить задачу с дробями и смешанными числами.