Костя в первый час прошел $4\frac{2}{5}$ км, а во второй час − на $\frac{3}{5}$ км больше, чем в первый час. За эти два часа он пошел на $5\frac{4}{5}$ км больше, чем в третий час. Сколько километров прошел Костя за все 3 часа?

Чтобы решить данную задачу, нужно использовать знания о работе с дробями, арифметические действия с ними, а также умение составлять и решать уравнения и выражения.

Теоретическая часть

1. Представление смешанных чисел

Смешанное число — это число, состоящее из целой части и дробной части. Например, $4\frac{2}{5}$ состоит из целой части $4$ и дробной части $\frac{2}{5}$. Для выполнения операций с такими числами иногда удобно переводить их в неправильные дроби. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь:
− Умножьте целую часть на знаменатель.
− Добавьте числитель дробной части к полученному результату.
− Запишите результат в виде дроби, где знаменатель остается неизменным.

Например:
$$ 4\frac{2}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{20 + 2}{5} = \frac{22}{5}. $$

2. Сложение дробей

Чтобы сложить дроби, необходимо, чтобы их знаменатели были одинаковыми. Если знаменатели разные, то нужно найти общий знаменатель. Наиболее удобным способом является нахождение наименьшего общего кратного (НОК) знаменателей. После приведения дробей к общему знаменателю складываются их числители, а знаменатель остается неизменным.

Пример сложения:
$$ \frac{3}{4} + \frac{5}{6}. $$

Наименьший общий знаменатель для $4$ и $6$ равен $12$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$$ \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \quad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}. $$
Теперь сложим дроби:
$$ \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}. $$

3. Вычитание дробей

Вычитание дробей выполняется аналогично сложению: сначала приводим дроби к общему знаменателю, а затем из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби. Знаменатель остается неизменным.

Пример вычитания:
$$ \frac{7}{8} - \frac{5}{12}. $$

Наименьший общий знаменатель для $8$ и $12$ равен $24$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$$ \frac{7}{8} = \frac{21}{24}, \quad \frac{5}{12} = \frac{10}{24}. $$
Теперь вычтем дроби:
$$ \frac{21}{24} - \frac{10}{24} = \frac{11}{24}. $$

4. Работа с выражениями

Задачу можно решить, используя алгебраические выражения. В таких задачах часто требуется обозначить неизвестные величины буквами, составить выражения, описывающие отношения между данными, и решить их. Важно внимательно читать условие задачи и записывать все данные в математической форме.

5. Порядок действий

При решении подобных задач важно соблюдать порядок действий:
1. Разобраться с условиями задачи.
2. Перевести смешанные числа в неправильные дроби, если это необходимо.
3. Записать математические выражения или уравнения, отражающие условия задачи.
4. Выполнить необходимые арифметические операции: сложение, вычитание, умножение или деление дробей.
5. Привести результат к требуемому виду (например, преобразовать неправильную дробь обратно в смешанное число).

6. Перевод дроби обратно в смешанное число

Если результат вычислений представлен в виде неправильной дроби, его можно перевести обратно в смешанное число:
− Разделите числитель на знаменатель, чтобы найти целую часть.
− Остаток от деления станет числителем дробной части.
− Знаменатель остается неизменным.

Пример:
$$ \frac{19}{5}. $$
Разделим $19$ на $5$: целая часть равна $3$, остаток равен $4$. Таким образом:
$$ \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}. $$

7. Проверка результата

После выполнения всех вычислений полезно проверить результат, чтобы убедиться в его корректности. Для этого можно подставить найденные значения обратно в условия задачи и убедиться, что они удовлетворяют всем требованиям.

Эти теоретические знания помогут вам решить задачу.