Найди значения выражений:
а) $10 - (3\frac{5}{11} + 1\frac{8}{11}) + 4\frac{2}{11}$;
б) $(4\frac{7}{8} + 2\frac{5}{8}) - (5\frac{1}{8} - 3\frac{3}{8})$.

Для решения задач, связанных с выражениями, содержащими смешанные числа и действия с ними, важно понимать, как работать со смешанными числами, дробями и арифметическими операциями. Давайте рассмотрим теоретическую часть, которая поможет понять ход решения таких задач.

Смешанные числа:

Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Например:
− $3\frac{5}{11}$ — смешанное число, где $3$ — целая часть, а $ \frac{5}{11} $ — дробная часть.

Чтобы выполнять арифметические операции с смешанными числами, важно знать, как преобразовывать их в дроби и наоборот.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь:

Неправильная дробь — это дробь, где числитель больше или равен знаменателю. Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь:
1. Умножьте целую часть на знаменатель дробной части.
2. Добавьте числитель дробной части к произведению из шага 1.
3. Запишите результат как числитель новой дроби, оставив тот же знаменатель.

Например, для $3\frac{5}{11}$:
− Умножаем $3 \cdot 11 = 33$,
− Добавляем числитель $33 + 5 = 38$,
− Записываем дробь $ \frac{38}{11} $.

Преобразование неправильной дроби обратно в смешанное число:

Чтобы преобразовать неправильную дробь обратно в смешанное число:
1. Разделите числитель на знаменатель, чтобы найти целую часть.
2. Остаток от деления станет числителем дробной части.
3. Знаменатель остается неизменным.

Например, для $ \frac{38}{11} $:
− Делим $38 \div 11 = 3$ (целая часть),
− Остаток $38 - 33 = 5$,
− Записываем смешанное число $3\frac{5}{11}$.

Сложение смешанных чисел:

Для сложения смешанных чисел можно использовать два подхода:
1. Преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, сложить их, а затем преобразовать обратно в смешанное число.
2. Сложить отдельно целые части и дробные части.

Пример: $3\frac{5}{11} + 1\frac{8}{11}$
1. Целые части: $3 + 1 = 4$,
2. Дробные части: $\frac{5}{11} + \frac{8}{11} = \frac{13}{11}$,
3. Преобразуем $\frac{13}{11}$ в смешанное число: $13 \div 11 = 1$ (целая часть), остаток $2$,
Итог: $4 + 1 = 5$, дробная часть $2/11$, ответ $5\frac{2}{11}$.

Вычитание смешанных чисел:

Для вычитания смешанных чисел применяются те же принципы:
1. Можно преобразовать в неправильные дроби, выполнить вычитание, затем преобразовать обратно.
2. Вычесть отдельно целые и дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, занимаем единицу из целой части уменьшаемого.

Пример: $4\frac{7}{11} - 2\frac{8}{11}$
1. Целые части: $4 - 2 = 2$,
2. Дробные части: $\frac{7}{11} - \frac{8}{11}$,
Поскольку $\frac{7}{11} < \frac{8}{11}$, занимаем $1$ из целой части: $2 - 1 = 1$,
Дробь становится $\frac{18}{11} - \frac{8}{11} = \frac{10}{11}$,
Ответ: $1\frac{10}{11}$.

Сложные выражения с несколькими действиями:

При выражениях, содержащих несколько действий, важно соблюдать порядок выполнения операций:
1. Выполнять действия в скобках.
2. Выполнять сложение и вычитание слева направо.

Пример: $10 - (3\frac{5}{11} + 1\frac{8}{11}) + 4\frac{2}{11}$
1. Сначала вычисляем сумму в скобках: $3\frac{5}{11} + 1\frac{8}{11}$,
2. Затем выполняем вычитание: $10 - \text{(результат суммы)}$,
3. Наконец, прибавляем $4\frac{2}{11}$.

Задачи с дробями, имеющими одинаковые знаменатели:

Если дроби имеют одинаковые знаменатели, операции с ними проще:
− Сложение: складываем числители, знаменатель остается неизменным.
− Вычитание: вычитаем числители, знаменатель остается неизменным.

Задачи с дробями, имеющими разные знаменатели:

Если дроби имеют разные знаменатели, необходимо привести их к общему знаменателю:
1. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
2. Преобразуйте дроби, так чтобы их знаменатели стали равны НОК.
3. Выполните сложение или вычитание.

Пример: $\frac{3}{8} + \frac{5}{11}$
1. НОК для $8$ и $11$ — это $88$,
2. Преобразуем дроби:
$\frac{3}{8} = \frac{33}{88}$,
$\frac{5}{11} = \frac{40}{88}$,
3. Складываем: $\frac{33}{88} + \frac{40}{88} = \frac{73}{88}$.

Итог:

Для решения задач подобного типа необходимо:
1. Преобразовывать смешанные числа в неправильные дроби, если это упрощает вычисления.
2. Стараться выполнять действия с дробями, соблюдая порядок операций.
3. Приводить дроби к общему знаменателю при необходимости.
4. Преобразовывать результат обратно в смешанное число, если требуется.