На приготовление домашнего задания ученик рассчитывал потратить $2\frac{5}{12}$ ч, но потратил на $\frac{7}{12}$ ч больше. На прогулку во дворе он потратил на $1\frac{1}{12}$ ч меньше, чем на приготовление домашнего задания. Сколько всего времени потратил ученик на прогулку и домашнее задание?

Для решения задачи важно понять, как работать с дробями, смешанными числами и арифметическими действиями, которые с ними связаны. Вот теоретическая информация, которая поможет решить задачу:

Математические понятия, используемые в задаче:

1. Смешанные числа:

   • Смешанное число состоит из целой части и дробной части (например, $2\frac{5}{12}$).
   • При необходимости смешанные числа можно преобразовать в неправильные дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель дробной части и прибавляют числитель дробной части. Например: $$ 2\frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{24 + 5}{12} = \frac{29}{12}. $$

2. Сложение дробей:

   • Чтобы сложить дроби с одинаковым знаменателем, складывают их числители, а знаменатель остаётся неизменным. Например: $$ \frac{5}{12} + \frac{7}{12} = \frac{5+7}{12} = \frac{12}{12} = 1. $$
   • Если знаменатели дробей различны, нужно найти общий знаменатель, а затем привести дроби к общему знаменателю.

3. Вычитание дробей:

   • Процесс аналогичен сложению дробей.
   • Сначала проверяют знаменатели дробей: если они одинаковые, то числители вычитаются, а знаменатель остаётся неизменным. Например: $$ \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5-3}{12} = \frac{2}{12}. $$

4. Сложение и вычитание смешанных чисел:

   • Можно работать отдельно с целой частью и дробной частью смешанного числа. Если дробная часть становится больше 1 (в случае сложения), её преобразуют в целую часть.
   • Например: $$ 2\frac{5}{12} + \frac{7}{12} = 2 + \frac{5}{12} + \frac{7}{12} = 2 + \frac{12}{12} = 2 + 1 = 3. $$
   • Для вычитания смешанных чисел нужно учитывать, что дробная часть уменьшаемого должна быть больше дробной части вычитаемого. Если это не так, можно "занять" часть из целой части уменьшаемого.

5. Общая сумма времени:

   • Чтобы найти общее время, потраченное на выполнение двух действий, нужно сложить их продолжительности. Для этого обе продолжительности должны быть выражены в одинаковом виде (например, как смешанные числа или как неправильные дроби).

Алгоритм решения задачи:

1. Найти время, фактически потраченное учеником на приготовление домашнего задания:

   • Ученик изначально планировал потратить $2\frac{5}{12}$ часа.
   • Он потратил на $\frac{7}{12}$ часа больше, поэтому необходимо сложить $2\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{12}$.

2. Найти время, потраченное учеником на прогулку:

   • На прогулку он потратил на $1\frac{1}{12}$ часа меньше, чем на выполнение домашнего задания.
   • Чтобы узнать точное количество времени, необходимо вычесть $1\frac{1}{12}$ из времени, фактически потраченного на домашнее задание.

3. Найти общее количество времени:

   • Чтобы узнать общее количество времени, потраченное учеником, нужно сложить время, потраченное на домашнее задание, и время, потраченное на прогулку.

4. Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби, если это необходимо:

   • Иногда для удобства вычислений смешанные числа преобразуют в неправильные дроби.

5. Записать ответ в виде смешанного числа или целого числа (если результат дроби больше 1):

   • Полученный результат можно оставить в виде смешанного числа или преобразовать в целое число.

Эти шаги и теоретические знания помогут вам решить задачу.