а) Выдели целую часть из неправильной дроби: $\frac{28}{3}, \frac{39}{7}, \frac{67}{8}$.
б) Запиши смешанные числа в виде дроби: $5\frac{7}{8}, 2\frac{4}{16}, 7\frac{9}{29}$.

Чтобы решить эту задачу, необходимо понять два ключевых математических понятия: неправильные дроби и смешанные числа. Разберем их детально.

Часть а): Выделение целой части из неправильной дроби

Что такое неправильная дробь?

Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Например, дробь $ \frac{28}{3} $ является неправильной, потому что числитель (28) больше знаменателя (3).

Цель

Цель состоит в том, чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, которое включает целую часть и правильную дробь. Смешанное число записывается в виде $ C\frac{A}{B} $, где:
− $ C $ — целая часть,
− $ A $ — числитель правильной дроби,
− $ B $ — знаменатель дроби (он останется таким же, как в исходной дроби).

Как выделить целую часть?

1. Разделите числитель на знаменатель.

   • Числитель $ n $ разделите на знаменатель $ d $ с остатком. В результате получите:
   • Частное $ q $ (целая часть),
   • Остаток $ r $, который станет числителем дроби.
   • Знаменатель $ d $ останется неизменным.

2. Запишите смешанное число.

   • Смешанное число будет иметь вид: $$ q \frac{r}{d} $$ где:
   • $ q $ — целая часть (частное от деления $ n \div d $),
   • $ r $ — остаток (числитель дроби),
   • $ d $ — знаменатель дроби.

Пример:

Рассмотрим дробь $ \frac{28}{3} $:
− Разделим 28 на 3. Частное равно 9 (целая часть), остаток равен 1.
− Смешанное число запишется как $ 9\frac{1}{3} $.

То же самое можно сделать для других дробей $ \frac{39}{7} $ и $ \frac{67}{8} $, применяя этот метод.

Часть б): Запись смешанных чисел в виде неправильной дроби

Что такое смешанное число?

Смешанное число включает целую часть и правильную дробь. Например, $ 5\frac{7}{8} $ — это смешанное число, где:
− $ 5 $ — целая часть,
− $ \frac{7}{8} $ — дробная часть.

Цель

Цель состоит в том, чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, где числитель больше знаменателя.

Как преобразовать смешанное число в неправильную дробь?

1. Умножьте целую часть на знаменатель дроби:

   • Возьмите целую часть $ C $ и умножьте её на знаменатель $ d $. Результат представляет сумму "целых долей".

2. Прибавьте числитель дробной части:

   • К результату добавьте числитель $ A $ дробной части. Итог будет новым числителем $ n $.

3. Сохраняйте тот же знаменатель:

   • Знаменатель $ d $ остается без изменений.

4. Запишите новую дробь:

   • Новый числитель $ n $ и старый знаменатель $ d $ дают неправильную дробь: $$ \frac{n}{d} $$

Формула:

Если смешанное число записано как $ C\frac{A}{B} $, то его преобразование в неправильную дробь выглядит так:
$$ \frac{n}{d} = \frac{C \cdot d + A}{d} $$

Пример:

Рассмотрим смешанное число $ 5\frac{7}{8} $:
− Умножим целую часть (5) на знаменатель (8): $ 5 \cdot 8 = 40 $.
− Прибавим числитель (7): $ 40 + 7 = 47 $.
− Знаменатель остается неизменным (8).
− Неправильная дробь: $ \frac{47}{8} $.

То же самое можно применить для других смешанных чисел $ 2\frac{4}{16} $ и $ 7\frac{9}{29} $.