а) Составь программу действий и вычисли:
$(3\frac{5}{6} - \frac{2}{6}) + 4$;
$2\frac{1}{7} + (\frac{4}{7} + 1\frac{2}{7})$;
$6\frac{2}{5} - (1\frac{3}{5} - \frac{1}{5})$;
$(3\frac{7}{8} + \frac{1}{8}) - 2\frac{5}{8}$;
$\frac{7}{9} + (1\frac{2}{9} - \frac{5}{9})$;
$(4\frac{2}{5} + \frac{4}{5}) + 1\frac{4}{5}$;
$6\frac{1}{4} - (3\frac{2}{4} + 1\frac{1}{4})$;
$(5 - 2\frac{3}{8}) - \frac{7}{8}$.
Вычеркни из таблицы ответы примеров и соответствующие им буквы. Оставшееся в таблице слово обозначает населенную человеком часть Земли.

б) Название обитаемой части суши впервые встречается у древнегреческого историка и географа, жившего в V веке до нашей эры. Расшифруй его имя, расположив дроби в порядке возрастания и сопоставив их соответствующих буквам:

Для решения задачи необходимо понимать работу с дробями, арифметические операции с ними, а также определение порядка выполнения действий и правила сравнения дробей. Рассмотрим теорию, которая пригодится для выполнения задания.

1. Арифметические действия с дробями

Дроби представляют собой числа вида $ \frac{a}{b} $, где $ a $ — числитель, $ b $ — знаменатель. Действия с дробями включают сложение, вычитание, умножение и деление. Если дробь смешанная, она записывается в виде $ n\frac{a}{b} $, где $ n $ — целая часть, $ \frac{a}{b} $ — дробная часть.

Сложение дробей

1. Если знаменатели одинаковые, складываются только числители: $$ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}. $$
2. Если знаменатели разные, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю: $$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}. $$

Вычитание дробей

1. Если знаменатели одинаковые: $$ \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}. $$
2. Если знаменатели разные, дроби нужно привести к общему знаменателю, а затем выполнить вычитание: $$ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}. $$

Умножение дробей

Две дроби просто перемножаются числители и знаменатели:
$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}. $$

Деление дробей

Чтобы выполнить деление дробей, первую дробь умножают на обратную дробь второй:
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}. $$

Работа со смешанными числами

Смешанное число преобразуется в неправильную дробь (дробь, у которой числитель больше знаменателя):
$$ n\frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b}. $$
Пример: $ 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5} $.

2. Порядок выполнения действий

В математических выражениях действия выполняются в определённом порядке:
1. Операции внутри скобок.
2. Умножение и деление (в порядке слева направо).
3. Сложение и вычитание (в порядке слева направо).

Например, для выражения $ (3 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{4} $:
1. Сначала выполняем действие внутри скобок: $ 3 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} $.
2. Затем вычитаем $ \frac{1}{4} $ из результата: $ \frac{7}{2} - \frac{1}{4} = \frac{14}{4} - \frac{1}{4} = \frac{13}{4} $.

3. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Например:
1. Для дробей $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{4} $, НОК знаменателей $ 3 $ и $ 4 $ равен $ 12 $.
2. Приведение:
$$ \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}. $$

4. Сравнение дробей

Чтобы сравнить дроби, нужно привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Пример:
1. Сравнить $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{7} $:
− НОК знаменателей $ 5 $ и $ 7 $ равен $ 35 $.
− Приведение:
$$ \frac{2}{5} = \frac{14}{35}, \quad \frac{3}{7} = \frac{15}{35}. $$
− Сравнение:
$$ \frac{14}{35} < \frac{15}{35}. $$

5. Расположение дробей в порядке возрастания

Для упорядочивания дробей нужно сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, а затем сравнить дроби, используя НОК знаменателей.

Пример:
− Смешанное число $ 2\frac{1}{8} = \frac{17}{8} $.
− Смешанное число $ 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} = \frac{14}{8} $.
− Сравнение: $ \frac{14}{8} < \frac{17}{8} $.

6. Шифрование и расшифровка

После выполнения арифметических действий и упорядочивания дробей, их значения сопоставляются с буквами из таблицы. Это позволяет получить слова или имена.

Применяя эти правила, можно решить задачу последовательно:
1. Выполнить арифметические действия в каждом выражении, соблюдая порядок действий.
2. Найти ответы из таблицы и вычеркнуть соответствующие буквы.
3. Расположить дроби в порядке возрастания, используя теорию сравнения дробей.
4. Сопоставить упорядоченные дроби с буквами, чтобы расшифровать имя древнегреческого историка и географа.