Вычисли устно и запиши ответ:
$2 + \frac{7}{8} = ☐$
$2 - \frac{7}{8} = ☐$
$4\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = ☐$
$4\frac{5}{7} - 2\frac{1}{7} = ☐$
$2\frac{1}{6} + 1\frac{5}{6} = ☐$
$2\frac{1}{6} - 1\frac{5}{6} = ☐$

Для того чтобы решить данные задачи, необходимо понять теоретические основы работы с дробями и смешанными числами. Давайте рассмотрим основные правила и шаги, которые помогут правильно решать подобные задачи.

Дроби

1. Что такое дробь?

   • Дробь — это число, которое представляет часть целого. Она записывается в виде двух чисел, разделенных горизонтальной чертой: $ \frac{a}{b} $, где:
   • $ a $ — числитель (сколько частей взяли),
   • $ b $ — знаменатель (на сколько частей разделили целое).

2. Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем

   • Если дроби имеют одинаковый знаменатель, то их можно сложить или вычесть, просто выполняя операции над числителями: $$ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}, \quad \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}. $$

3. Смешанное число

   • Смешанное число — это число, которое состоит из целой части и дробной части. Например, $ 3\frac{2}{5} $ означает три целых и две пятых.

4. Приведение смешанного числа к неправильной дроби

   • Чтобы работать со смешанными числами в арифметических действиях, их часто приводят к виду неправильной дроби: $$ n\frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b}. $$ Например, $ 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5} $.

5. Сложение и вычитание смешанных чисел

   • Смешанные числа можно складывать двумя способами: 1) Сложить отдельно целые части и дробные части. 2) Привести их к виду неправильных дробей и выполнить сложение или вычитание дробей.

Примеры действий

1. Сложение дроби с целым числом

   • Когда вы складываете дробь с целым числом, целое число сначала можно представить как дробь со знаменателем 1. Например: $$ 2 + \frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 8}{8} + \frac{7}{8} = \frac{16}{8} + \frac{7}{8} = \frac{16+7}{8}. $$

2. Вычитание дроби из целого числа

   • Когда вы вычитаете дробь из целого числа, целое число также можно представить как дробь. Например: $$ 2 - \frac{7}{8} = \frac{16}{8} - \frac{7}{8} = \frac{16-7}{8}. $$

3. Сложение смешанных чисел

   • Если смешанные числа имеют одинаковые дробные части (знаменатель), то можно сначала сложить целые части, а затем дробные части. Например: $$ 4\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (4+2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 6 + \frac{6}{7}. $$
   • Если знаменатели дробей разные, то нужно привести их к общему знаменателю.

4. Вычитание смешанных чисел

   • Вычитание происходит аналогично сложению. Если дробной части уменьшаемого недостаточно для вычитания, то нужно занять одну целую часть у целой части уменьшаемого. Например: $$ 4\frac{5}{7} - 2\frac{1}{7} = (4-2) + (\frac{5}{7} - \frac{1}{7}) = 2 + \frac{4}{7}. $$

5. Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

   • Если дробные части имеют разные знаменатели, то их нужно привести к общему знаменателю перед выполнением операции.

Итоговый алгоритм

1. Если числа смешанные, приведите их к неправильным дробям.
2. Если знаменатели дробей одинаковые, сложите или вычтите числители. Знаменатель оставьте прежним.
3. Если знаменатели дробей разные, приведите их к общему знаменателю.
4. Если после выполнения операции получилась неправильная дробь, выделите целую часть.

Используя эти правила, можно легко решать задачи на сложение и вычитание дробей и смешанных чисел.