Запиши все двойные неравенства, имеющие множество решений {8, 9, 10}.

Чтобы записать двойные неравенства, множество решений которых состоит из чисел {8, 9, 10}, важно разобраться с понятием двойного неравенства и его свойствами.

Двойное неравенство — это математическое выражение, в котором одно неизвестное число $ x $ сравнивается сразу с двумя числами. Оно записывается в виде:

$$ a \leq x \leq b \quad \text{или} \quad a < x < b, $$

где $ a $ и $ b $ — это границы множества чисел, между которыми находится решение. Если используется символы $ \leq $ или $ \geq $, то границы включаются в множество решений. Если используются символы $ < $ или $ > $, то границы не включаются в множество решений.

Анализ множества решений {8, 9, 10}

Множество {8, 9, 10} содержит три целых числа: $ 8 $, $ 9 $, и $ 10 $. Для того чтобы это множество стало решением двойного неравенства, нужно корректно выбрать нижнюю и верхнюю границы $ a $ и $ b $ так, чтобы включить эти числа.

Обозначим:

• $ a $ — нижняя граница,
• $ b $ — верхняя граница.

В данном случае:

1. Если границы включаются, то множество решений записывается с использованием $ \leq $:

   • $ a \leq x \leq b $.

2. Если границы не включаются, то множество решений записывается с использованием $ < $:

   • $ a < x < b $.

Основной принцип построения неравенства

Чтобы множество решений было равно {8, 9, 10}, нужно сделать так, чтобы:

1. Числа $ 8 $, $ 9 $ и $ 10 $ попадали в промежуток между $ a $ и $ b $.
2. Если границы включаются, $ a $ должно быть равно $ 8 $, а $ b $ — равно $ 10 $, так как эти числа входят в множество решений.
3. Если границы не включаются, $ a $ должно быть меньше $ 8 $, а $ b $ — больше $ 10 $, чтобы числа $ 8 $, $ 9 $, $ 10 $ были внутри промежутка, но сами границы не включались.

Возможные варианты для двойного неравенства

1. С использованием $ \leq $: В этом случае границы $ a $ и $ b $ включаются, так что $ a $ будет равно $ 8 $, а $ b $ — равно $ 10 $.

Пример: $ 8 \leq x \leq 10 $.

1. С использованием $ < $: Если границы $ a $ и $ b $ не включаются, то $ a $ должно быть меньше $ 8 $, а $ b $ — больше $ 10 $. Например, $ a $ может быть равно $ 7 $, а $ b $ — равно $ 11 $.

Пример: $ 7 < x < 11 $.

Дополнительные варианты

Также можно комбинировать включение одной границы и исключение другой:

1. Если нижняя граница включается, а верхняя — нет, то:
   Пример: $ 8 \leq x < 11 $.

2. Если нижняя граница не включается, а верхняя включается, то:
   Пример: $ 7 < x \leq 10 $.

Количество вариантов двойных неравенств зависит от выбора включения или исключения границ $ a $ и $ b $, но все они должны соответствовать множеству решений {8, 9, 10}.