а) Найди значение выражение $a + 2\frac{7}{15}$, если $a = \frac{2}{15}, \frac{8}{15}, 1\frac{4}{15}, 2, 3\frac{1}{15}.$
б) Найди значение выражение $b - 1\frac{3}{11}$, если $b = 1\frac{7}{11}, 2, 4\frac{2}{11}, 5, 7\frac{3}{11}.$

Для решения задач на сложение и вычитание смешанных чисел с дробями необходимо хорошо понимать теоретические основы работы с дробями. Сейчас мы разберем эти основы подробно.

Смешанные числа и дроби

Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Например, $ 2\frac{7}{15} $ — это смешанное число, где $ 2 $ — целая часть, а $ \frac{7}{15} $ — дробная часть. Смешанные числа можно записывать в виде неправильной дроби. Неправильная дробь имеет числитель больше знаменателя, например, $ \frac{17}{15} $.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

Чтобы преобразовать смешанное число $ c\frac{d}{e} $ (где $ c $ — целая часть, $ d $ — числитель дроби, $ e $ — знаменатель дроби) в неправильную дробь:
1. Умножьте целую часть $ c $ на знаменатель $ e $.
2. К результату прибавьте числитель $ d $.
3. Запишите сумму в числителе, а знаменатель оставьте тем же.

Пример: $ 2\frac{7}{15} $:
$$ \text{Числитель: } 2 \cdot 15 + 7 = 30 + 7 = 37, \quad \text{Знаменатель: } 15. $$
Итак, $ 2\frac{7}{15} = \frac{37}{15} $.

Сложение дробей

Чтобы сложить дроби, необходимо, чтобы их знаменатели были одинаковыми. Если знаменатели уже одинаковые, то:
1. Сложите числители дробей.
2. Знаменатель оставьте тем же.

Если знаменатели разные, то:
1. Найдите общий знаменатель (наименьшее общее кратное знаменателей).
2. Приведите дроби к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель.
3. Сложите полученные дроби.

Пример: $ \frac{2}{15} + 2\frac{7}{15} $:
1. Преобразуйте смешанное число $ 2\frac{7}{15} $ в $ \frac{37}{15} $.
2. Знаменатели одинаковые ($ 15 $), поэтому просто сложите числители:
$$ \frac{2}{15} + \frac{37}{15} = \frac{2 + 37}{15} = \frac{39}{15}. $$

Вычитание дробей

Процесс вычитания дробей аналогичен сложению:
1. Приведите дроби к общему знаменателю (если знаменатели разные).
2. Вычтите числитель первой дроби из числителя второй дроби.
3. Знаменатель оставьте тем же.

Пример: $ \frac{4}{11} - \frac{3}{11} $:
Знаменатели одинаковые ($ 11 $), поэтому просто вычтите числители:
$$ \frac{4}{11} - \frac{3}{11} = \frac{4 - 3}{11} = \frac{1}{11}. $$

Работа с смешанными числами при вычитании

Если требуется вычесть смешанное число из другого числа, то лучше сначала преобразовать оба числа в неправильные дроби, а затем выполнить вычитание.

Пример: $ 4\frac{2}{11} - 1\frac{3}{11} $:
1. Преобразуйте оба смешанных числа в неправильные дроби:
$$ 4\frac{2}{11} = \frac{46}{11}, \quad 1\frac{3}{11} = \frac{14}{11}. $$
2. Вычтите дроби:
$$ \frac{46}{11} - \frac{14}{11} = \frac{46 - 14}{11} = \frac{32}{11}. $$

Преобразование результата обратно в смешанное число

Если результат сложения или вычитания — неправильная дробь, то можно преобразовать её обратно в смешанное число:
1. Разделите числитель на знаменатель, чтобы найти целую часть.
2. Остаток от деления станет числителем дробной части, знаменатель останется тем же.

Пример: $ \frac{39}{15} $:
1. $ 39 \div 15 = 2 $ (целая часть), остаток $ 9 $.
2. Запишите смешанное число: $ 2\frac{9}{15} $.

Упрощение дробей

Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель, дробь можно сократить. Для этого:
1. Найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.
2. Разделите числитель и знаменатель на НОД.

Пример: $ \frac{39}{15} $:
НОД числителя $ 39 $ и знаменателя $ 15 $ — это $ 3 $.
$$ \frac{39}{15} = \frac{39 \div 3}{15 \div 3} = \frac{13}{5}. $$

Итог

Для решений подобных задач необходимо:
1. Преобразовать смешанные числа в неправильные дроби.
2. Выполнить операцию сложения или вычитания, приведя дроби к общему знаменателю, если необходимо.
3. Преобразовать результат обратно в смешанное число (если требуется) и упростить дробь.