Восстанови цепочку вычислений:

Теоретическая часть для решения задачи:

Для восстановления цепочки вычислений необходимо понимать основные операции с дробями: сложение, вычитание, приведение дробей к общему знаменателю, смешанные числа и их преобразование. Рассмотрим каждую операцию отдельно.

1. Сложение дробей

Чтобы сложить две дроби, их знаменатели должны быть одинаковыми. Если знаменатели разных дробей разные, их приводят к общему знаменателю. Общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей двух дробей.

Формула сложения дробей с одинаковыми знаменателями:
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} $$

Формула сложения дробей с разными знаменателями:
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} $$

Пример:
$$ \frac{2}{5} + \frac{3}{7} $$
Общий знаменатель — НОК чисел 5 и 7, равное 35. Преобразуем дроби:
$$ \frac{2}{5} = \frac{14}{35}, \quad \frac{3}{7} = \frac{15}{35} $$
Теперь складываем:
$$ \frac{14}{35} + \frac{15}{35} = \frac{29}{35} $$

2. Вычитание дробей

Процесс вычитания дробей аналогичен сложению. Если знаменатели дробей различны, их приводят к общему знаменателю. После этого вычитают числители.

Формула вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
$$ \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b} $$

Формула вычитания дробей с разными знаменателями:
$$ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d} $$

Пример:
$$ \frac{4}{7} - \frac{3}{7} $$
Знаменатели одинаковые, вычитаем числители:
$$ \frac{4}{7} - \frac{3}{7} = \frac{1}{7} $$

3. Приведение чисел к общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю — это процесс преобразования дробей с разными знаменателями к дробям с одинаковым знаменателем. Для этого находят НОК знаменателей дробей.

Пример:
$$ \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3} $$
НОК чисел 2 и 3 — 6. Преобразуем дроби:
$$ \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} $$

4. Работа со смешанными числами

Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Чтобы выполнять арифметические действия с такими числами, их сначала преобразуют в неправильные дроби.

Формула преобразования смешанного числа $ a \frac{c}{b} $ в неправильную дробь:
$$ a \frac{c}{b} = \frac{a \cdot b + c}{b} $$

Пример:
$$ 2 \frac{3}{7} $$
Преобразуем в неправильную дробь:
$$ \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{14 + 3}{7} = \frac{17}{7} $$

5. Обратное преобразование неправильной дроби в смешанное число

Если числитель неправильной дроби больше знаменателя, дробь можно преобразовать обратно в смешанное число. Для этого числитель делят на знаменатель, результат записывают как целую часть, а остаток — как числитель дробной части.

Пример:
$$ \frac{23}{7} $$
23 делим на 7, получается 3 целых и остаток 2. Преобразуем:
$$ \frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7} $$

6. Итоговое вычисление в цепочке

В задаче необходимо выполнять последовательные операции: сложение и вычитание дробей, преобразование смешанных чисел в неправильные дроби, приведение дробей к общему знаменателю и обратное преобразование в случае необходимости.

Каждая операция требует аккуратного выполнения с соблюдением правил работы с дробями.