Выполни действия:
$4\frac{5}{9} + 2\frac{4}{9} = $
$8\frac{3}{5} + 1\frac{4}{5} = $

Для того чтобы успешно решить задачи на сложение смешанных чисел, потребуется знание следующих теоретических основ:

Смешанные числа

Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Например, $ 4\frac{5}{9} $ — это смешанное число, где $ 4 $ — целая часть, а $ \frac{5}{9} $ — дробная часть.

Основные этапы сложения смешанных чисел

Сложение смешанных чисел выполняется в несколько этапов:

1. Разделение смешанного числа на целую и дробную части
   Смешанное число разделяем на две составляющие: целую часть и дробную часть. Например, для числа $ 4\frac{5}{9} $, целая часть — $ 4 $, дробная часть — $ \frac{5}{9} $.

2. Сложение целых частей
   Складываем целые части смешанных чисел отдельно друг от друга.

3. Сложение дробных частей
   Складываем дробные части смешанных чисел. Если знаменатели дробей одинаковые, то складываются только числители. Знаменатель при этом остается тем же. Если знаменатели разные, приводим дроби к общему знаменателю.

4. Преобразование результата сложения дробей (если необходимо)
   После сложения дробных частей может оказаться, что дробь является неправильной. Неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю. В таком случае выделяем из нее целую часть и добавляем ее к сумме целых частей.

5. Запись результата в виде смешанного числа
   После сложения целых частей и дробных частей записываем результат в виде смешанного числа.

Пример теоретического рассмотрения

Рассмотрим общее выражение: $ a\frac{b}{c} + x\frac{y}{z} $, где $ a $ и $ x $ — целые части смешанных чисел, а $ \frac{b}{c} $ и $ \frac{y}{z} $ — дробные части смешанных чисел.

Шаг 1: Сложение целых частей

Складываем целые части: $ a + x $.

Шаг 2: Приведение дробей к общему знаменателю (если необходимо)

Если знаменатели дробей $ c $ и $ z $ различны, находим их общий знаменатель. Общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) $ c $ и $ z $. Далее приводим дроби $ \frac{b}{c} $ и $ \frac{y}{z} $ к новому знаменателю.

Шаг 3: Сложение дробей

После приведения дробей к общему знаменателю складываем их числители. Например:
$$ \frac{b}{c} + \frac{y}{z} = \frac{b'}{\text{НОК}} + \frac{y'}{\text{НОК}} = \frac{b' + y'}{\text{НОК}}, $$
где $ b' $ и $ y' $ — новые числители дробей после приведения к общему знаменателю.

Шаг 4: Упрощение результата дробного сложения

Если числитель дроби больше или равен знаменателю, выделяем целую часть. Например, если результат дробного сложения — $ \frac{n}{m} $, где $ n \geq m $, то выделяем целую часть $ k = \lfloor n / m \rfloor $ и остаток $ r = n \mod m $. Дробь записывается как $ k\frac{r}{m} $.

Шаг 5: Сложение целых частей и запись результата

Результат состоит из суммы целых частей (с учетом выделенной части из дробного сложения) и оставшейся дробной части.

Преобразование неправильной дроби в смешанное число

Если дробная часть после сложения оказывается неправильной (например, $ \frac{9}{5} $), нужно преобразовать ее в смешанное число. Выделяем целую часть $ \lfloor \frac{9}{5} \rfloor = 1 $, а остаток $ 9 \mod 5 = 4 $. Получаем смешанное число $ 1\frac{4}{5} $.

Таким образом, при сложении смешанных чисел необходимо помнить про раздельное сложение целых и дробных частей, а также про преобразование неправильных дробей.