Реши уравнения:
а) $(x + 4\frac{2}{7}) - 3\frac{6}{7} = 6$;
б) $9\frac{5}{13} - (7\frac{6}{13} - y) = 2\frac{3}{13}$.

Чтобы понять, как решать подобные уравнения, давайте подробно разберем теоретическую базу, связанную с действиями над смешанными числами и уравнениями.

1. Смешанные числа

Смешанные числа представляют собой сумму целой части и дробной части. Например, $4\frac{2}{7}$ — это смешанное число, где $4$ — целая часть, а $\frac{2}{7}$ — дробная часть.

Основные операции над смешанными числами:

• Сложение и вычитание смешанных чисел:
  Чтобы сложить или вычесть смешанные числа, сначала выполняются действия с целыми частями, а затем — с дробными частями. Если дробные части имеют одинаковые знаменатели, их можно напрямую складывать или вычитать.

• Преобразование смешанного числа в неправильную дробь:
  Иногда для удобства вычислений смешанное число преобразуют в неправильную дробь. Например:
  $$ 4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{28 + 2}{7} = \frac{30}{7}. $$
  Это упрощает операции, особенно если уравнение содержит множество дробей.

Приведение дробей к общему знаменателю:

Если дробные части имеют разные знаменатели, их нужно привести к общему знаменателю, чтобы выполнить операцию сложения или вычитания. Например:
$$ \frac{3}{5} + \frac{2}{7}. $$
Находим общий знаменатель (наименьшее общее кратное знаменателей $5$ и $7$, то есть $35$):
$$ \frac{3}{5} = \frac{21}{35}, \quad \frac{2}{7} = \frac{10}{35}. $$
Теперь складываем:
$$ \frac{21}{35} + \frac{10}{35} = \frac{31}{35}. $$

2. Уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число (переменную), которое нужно найти. Основная цель при решении уравнения — изолировать переменную и найти её значение.

Основные принципы решения уравнений:

1. Сохранение равенства:
   Любое действие, которое выполняется с одной стороной уравнения, должно также выполняться с другой стороной. Например:
   Если прибавляем $5$ к левой части, то прибавляем $5$ к правой части.

2. Перенос членов уравнения:
   Если нужно перенести какой−либо член из одной части уравнения в другую, его знак меняется на противоположный. Например:
   $$ x + 7 = 15 \implies x = 15 - 7. $$

3. Работа с дробями:
   Если уравнение содержит дроби, полезно преобразовать смешанные числа в неправильные дроби и привести дроби к общему знаменателю.

Решение уравнений с дробями и смешанными числами:

Для уравнений со смешанными числами часто используют следующие шаги:
− Преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, чтобы упростить вычисления.
− Привести дроби к общему знаменателю (если дробные части имеют разные знаменатели).
− Выполнить действия (сложение, вычитание, умножение или деление) с дробями.
− Постепенно изолировать переменную, выполняя обратные операции.

3. Примерный алгоритм решения задачи:

Уравнение (а):

$$ (x + 4\frac{2}{7}) - 3\frac{6}{7} = 6. $$
1. Преобразуем смешанные числа $4\frac{2}{7}$ и $3\frac{6}{7}$ в неправильные дроби:
$$ 4\frac{2}{7} = \frac{30}{7}, \quad 3\frac{6}{7} = \frac{27}{7}. $$
Уравнение станет:
$$ \left(x + \frac{30}{7}\right) - \frac{27}{7} = 6. $$

1. Выполняем действия с дробями, приводя их к общему знаменателю (уже $7$).

2. Изолируем $x$, выполняя обратные операции.

Уравнение (б):

$$ 9\frac{5}{13} - (7\frac{6}{13} - y) = 2\frac{3}{13}. $$
1. Преобразуем смешанные числа $9\frac{5}{13}$, $7\frac{6}{13}$, и $2\frac{3}{13}$ в неправильные дроби:
$$ 9\frac{5}{13} = \frac{122}{13}, \quad 7\frac{6}{13} = \frac{97}{13}, \quad 2\frac{3}{13} = \frac{29}{13}. $$
Уравнение станет:
$$ \frac{122}{13} - \left(\frac{97}{13} - y\right) = \frac{29}{13}. $$

1. Раскрываем скобки и упрощаем. Помним, что знак перед скобками меняет знаки внутри неё.

2. Изолируем $y$, выполняя обратные операции.

Этот подход применим ко всем задачам, включающим смешанные числа и дроби.